Matriz

Matrices: Conceptos y Operaciones B´sicas
a
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
28 de septiembre de 2010

´
Indice
11.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . .
o
11.2. Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Igualdad entre matrices . . . . . . . .
11.4. Matrices especiales . . . . . . . . . . .
11.5. Suma de matrices . . . . . . . . . . . .
11.6. Producto de unescalar por una matriz
11.7. Producto de una matriz por un vector
11.8. Matriz de requerimiento . . . . . . . .
11.9. Producto entre Matrices . . . . . . . .
11.10. atriz de requerimiento y producto de
M
11.11. ropiedades de las operaciones . . . .
P
11.12. otas Importantes . . . . . . . . . . .
N

11.1.

......
......
......
......
......
......
......
......
......
matrices .......
......

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1
2
3
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5
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9
10

Introducci´n
o

En esta lectura veremos conceptos b´sicos sobre matrices, las operaciones de suma entre matrices, producto
a
de un escalar por unamatriz y el producto entre matrices.

11.2.

Matriz

Definici´n 11.1
o
Una matriz A m × n es un arreglo rectangular de m · n n´meros en forma de m renglones horizontales y n
u
columnas verticales:


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 
(1)
am1 am2 · · · amn
Nos referiremos al elemento que se encuentra en el rengl´n i y en la columna j como el elemento aij de A o
o
como el (i,j )-´simo elemento de A. La dimensi´n de A es el producto indicado del n´mero de renglones por
e
o
u
el n´mero de columnas, as´ en este caso la dimensi´n de A es m × n. El i-´simo rengl´n de A es:
u
ı
o
e
o
ai1 ai2 · · ·
La j -´sima columna de A es:
e






a1j
a2j
.
.
.
amj







ain

Tambi´n podemos considerar que la matriz A es una secuencia de suscolumnas a1 , a2 ,..., an :
e
A = [a1 a2 · · · an ] .
Ejemplo 11.1
Indique cu´les de las siguientes representaciones son matrices:
a

22
2
−2 4 −3 
−2 4 −3 ,
,
0 −1 
0
0

2
−2
5
0


20
4 −3 

0 −1 
00

Recuerde: Matriz es un arreglo rectangular; Por consiguiente, la unica representaci´n que corresponde a una
´
o
matriz es la ultima
´
Ejemplo 11.2
Paracada matriz, indique el n´mero de renglones, el n´mero de columnas y su dimensi´n:
u
u
o


2
−4
−1 −4
2.
3.  −4 
1.
4
 −4

4 3 −4
6 −2
−1 −1 1
5.
6.  2 5 −5 
4.
−5
6
2 6 −3


−2 3
−3 −6 0
7.  −6 6  8.
3 −1 0
−2 5
Soluci´n
o
1. tiene 2 renglones y 1 columna: es 2 × 1; 2. tiene 1 rengl´n y 2 columnas: es 1 × 2, 3. tiene 3 renglones y 1
o
columna: es 3 × 1,4. tiene 2 renglones y 2 columnas: es 2 × 2, 5. tiene 1 rengl´n y 3 columnas: es 1 × 3, 6.
o
tiene 3 renglones y 3 columnas: es 3 × 3, 7. tiene 3 renglones y 2 columnsa: es 3 × 2, y 8. tiene 2 renglones y 3
columnas: es 2 × 3
Ejemplo 11.3
Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) de la matriz:


−3 −4 −1
 −3
1
2
−3
3
3
Soluci´n
o
El elemento (3, 1) est´ en el...