Maximos y Mninimos

CÁLCULO I
Tema 11
Máximos y Mínimos
Derivadas sucesivas. Teorema de Rolle y del valor Medio. Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión. Aplicaciones
Primera y segunda derivada.
Como ya hemos visto, la primera derivada nos indica cual es la razón de cambio de la variable dependiente sobra la independiente, la cual viene a ser la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.Cuando se saca una segunda derivada, se está encontrando la razón de cambio a la cual varía dicha pendiente. Por eso viene a ser una “segunda derivada”
Ej: Cuando se tiene un caso de caída libre, la fórmula es: y = Yo + Vo t + (Ao/2) t2 donde t es tiempo en segundos
dy/dt = Vo + 2(Ao/2) t dy/dt = Vo+Aot : d2y/dt2 = Ao
Por esto, en física ya vemos cómo la derivada respecto al tiempo dy/dt,viene a ser Velocidad Instantánea en dicho punto. En tanto, para la mayoría de los casos, la que se conoce como Aceleración, o sea la rata de cambio de la Velocidad, o segunda derivada, que se denota d 2y/dt 2 viene a significar Aceleración Instantánea es constante. Al asumir que haya una Aceleración variable (en función de t), este cambio en la aceleración instantánea se da en algunos tipos demovimiento en la naturaleza, como en el llamado movimiento armónico simple.
De manera similar, la segunda derivada tiene también un significado como “la razón de cambio de la razón de cambio” de algunos fenómenos no naturales, generalmente de tipo financiero o económico, que se estudian en sus respectivas disciplinas.
.Ejemplo: Hallar la segunda derivada de...
y = dy/dx = dy/dx=
d2y/dt 2= d 2y/dt 2=
d2y/dt 2= d 2y/dt 2=
d 2y/dt 2
Pero ahora veamos, qué significado tiene para nosotros estas dos fórmulas? Pues significan que si un fenómeno sigue un proceso que se puede describir con la función y=f(x), entonces la pendiente de la tangente en cualquier punto de ella será m = dy/dx = f ’(x) y además, que si graficáramos el comportamiento de la pendienteaparte, entonces tendríamos que la pendiente de la tangente en cualquier punto de dicha gráfica sería dm/dx = d2y/dx2 = f “(x)
a) Teorema de Rolle
S i se tiene una función f(x) que 1. Es continua en un intervalo cerrado [a, b] y 2. Diferenciable en el intervalo abierto (a, b), 3. Si f(a) = f(b) Entonces, hay un número c en (a, b) tal que f ’( c) = 0 O sea, que si pueden haberdos puntos de una función que tengan la misma ordenada, entre ellos hay una línea tangente cuya pendiente es igual a cero y por tanto hay un extremo relativo (mínimo o máximo) | f(a) f(b) f(c) f ‘(c)=0 a c b |

Los ejemplos principales de aplicación de este teorema, son:
a) Hallar las raíces o ceros deuna función utilizando además el teorema del residuo (ya practicada en álgebra Superior)
b) Localizar máximos o mínimos de una función.
c) Como una base para llegar al...
b) Teorema del valor Medio
Si se tiene una función f(x) que: 1. Es continua en un intervalo cerrado [a, b] y 2. Diferenciable en el intervalo abierto (a, b), Entonces, hay un número c en (a, b) tal quef ’( c) = f (b) – f ( a) b – aComo se ve en la gráfica, siempre hay un punto en un intervalo de una función, en el que la pendiente de la línea tangente en dicho punto es igual a la de la recta que une a f(a) con f(b) | f(x) (a, f(a)) (b, f(b)) (c, f(c))a c b |
Ej.: Si un ciclista pasa por un sitio a una hora determinada (t1 , f(t1)) y pasa por otro punto en otro momento también determinado (t2, f(t2)), entonces, al calcular la velocidad media en dicho lapso, se puede decir que hubo un momento t=c en que dicho ciclista iba exactamente a velocidad instantánea igual a dicha velocidad media. O sea, si la ecuación del...