mc3b3dulo-11-sobre-programacic3b3n-matlab

11

MÓDULO
SOBRE
PROGRAMACIÓN MATLAB

Ing. Francisco Muñoz Paba

Correo: franciscomunoz@ mail.uniatlantico.edu.co

11 Solución numérica de ecuaciones.
Objetivos:
Al terminar éste módulo el lector estará en condiciones de:
Definir el método analítico y el método numérico.
Aplicar el método de bisección para la determinación de raíces.
Aplicar el método de la secante para ladeterminación de raíces.
Aplicar el método de Newton – Raphson para la determinación de raíces.
Aplicar los métodos de Bisección, Secante y Newton – Raphson en la solución de
problemas de ingeniería.
Escribir programas en Matlab usando los métodos de eliminación de Gauss, Gauss –
Seidel, Gauss – Jordan, Jacobi y Cholesky para resolver sistemas de ecuaciones
lineales.
Aplicar el método de Newton –Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no
lineales.

Introducción
En el módulo 10, se estudia las funciones más importantes para exportar e importar
archivos de datos con diversos tipos de formatos para leer o escribir. En el módulo 7, se
estudia los arreglos y matrices combinando las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división, usando las funciones intrínsecas de Matlab.Este módulo estudia los métodos
numéricos de eliminación de Gauss, Gauss – Jordan, Cholesky, Gauss – Seidel, Jacobi y
Newton para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales algebraicas o
trascendentales, mediante funciones intrínsecas de Matlab y con programas usando las
técnicas de los métodos de bisección, secante y Newton – Raphson.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales.La solución de muchos problemas de ingeniería se reduce encontrando la solución
simultánea de un sistema de ecuaciones algebraicas. Tales sistemas se pueden escribir
como:
+
+⋯
=
+
+⋯
=
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
+
+⋯
=

También puede escribirse como:

Simplificando

∑

=

∑

(11.1)

=

∑

=

∑

=

La ecuación (11.3) se puede escribir en forma dematriz como:

=

(11.2)

= 1, 2, … ,

(11.3)

(11.4)

Donde A es una matriz de orden n teniendo coeficientes aij y X y B son vectores de orden n,
teniendo coeficientes xi y bi respectivamente. El problema consiste en encontrar el
coeficiente desconocido de X, para coeficientes conocidos de A y B. Mostraremos como
resolver sistemas de ecuaciones por eliminación de Gauss, Gauss –Jordan, Cholesky y
métodos iterativos como Jacobi y Gauss – Siedel.
Suponemos por el momento que el sistema puede resolverse, por ejemplo, que está bien
condicionado. Para casos de sistemas mal condicionados se discutirá más adelante. Para
considerar estos casos es importante definir una matriz positiva definida.
Considere que el lado izquierdo de la ecuación (11.4) es pre multiplicada por elvector XT
que da un número, digamos F, esto es
F= XTAX
o
F=

⋯







(11.5)
⋯
⋯
⋯

F se puede expandir y escribirse como,
F=

+

+⋯

+2

⋯ 2

,

(11.6)

F es llamada una forma cuadrática en x1, x2, . . . xn. Por ejemplo, una forma cuadrática con
dos variables x1 y x2 es de la forma,

=
+
+2
Una formacuadrática que es igual a cero sólo si
xi= 0

Para i = 1, n

y es positivo para todos los valores de las variables xi, es denominada definida positiva. En
tal caso la matriz A es denominada una matriz definida positiva.

Método de eliminación de Gauss simple
El procedimiento está diseñado para resolver un sistema de n ecuaciones lineales:
x +
+

+
+

+ ⋯ +
+ ⋯ +

=
=

⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮
+
+
+ ⋯ +
=

(11.7)

La técnica consiste en dos etapas: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante la
sustitución hacia atrás.
Primero dividimos por a11 obteniendo
x +
+
+ ⋯ +
=
Donde
!
= !"# $ = 2,
=

""

(11.8)

Ahora eliminamos x11 de la segunda, tercera, etc. de las ecuaciones...