Mcm y mcd

MINIMO COMUN MULTIPLO.
COMUN MÚLTIPLO. De dos o màs expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Asì, 8ab es comùn múltiplo de 2ª y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2ª y por 4ab ; 3x-9x+6 es comùn múltiplo de x-2 y de x-3x+2 porque 3x-9x+6 es divisible exactamente por x-2 por x-3x+2.
MINIMO COMUN MÚLTIPLO.De dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas .
Asì , el m.c.m. es de 4ª y 6ª es 12ª ; el m.c.m.de 2x , 6x y 9x es 18x. La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.
M.C.M DE MONOMIOS.
REGLA:
Se halla el m.c.m de los coeficientes y acontinuación de èste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
• Hallar el m.c.m. de ax y ax.
Tomamos a con sumayor exponente x y con su mayor exponente x y tendremos :m.c.m.=ax.
(2) Hallar el m.c.m. de 8abc y 12ab 8abc=2abc
12ab=2.3ab
el m.c.m.de los coeficientes es 2.3. A continuación escribimos acon su mayor exponente b y c, luego:
m.c.m.=2. 3abc.
M.C.M.DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
REGLA:
Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos .el m.c.m.es el producto de los factores primos ,comunes y no comunes, con su mayor exponente.
(1) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x -3.
descomponiendo 6=2.3
3x-3=3(x-1)
m.c.m.=2.3(x-1)=6(x-1)
(2) Hallar el m.c.m. de 14a , 7x-21
descomponiendo14a=2.7a
7x-21=7(x-3)
el m.c.m.=2.7.a (x-3)=14a(x-39)
(3) Hallar el m.c.m. de 15x ,10x + 5x , 54x
como 15x està contenido en 45x , prescindimos de 15x
descomponiendo :10x + 5x=5x(2x+1)
45x=3 .5 .x
m.c.m.=3 . 5.x (2x+1)=45x (2x+1)
M.C.M. DE POLINOMIOS.
La regla es la misma del caso anterior.
(1) Hallar el m.c.m. de 4ax - 8axy+ 4ay , 6bx-6by
descomponiendo:
4ax - 8axy+4ay =4a (x-2xy+y )=2.a(x-y)
6bx-6by=6b(x-y) =2.3b (x-y)
elm.c.m.=2 .3.ab (x-y) =12ab (x-y)2
2) Hallar el m.c.m. de x3+2bx2,x3y + x2y2 + 4by2 + 4b2y2
x3 +2bx2=x2(x+2b)
x3y-4b2xy=xy(x2-4b2) = xy(x+2b) (x-2b)
x2y2+4bxy2+4b2y2=y2(x2+4bx+4b2)=y2(x+2b)2
el m.c.m.= x2y2(x+2b)2(x-2b)
MAXIMO COMUN DIVISOR
FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o mas expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que estàcontenida exactamente en cada una de las primeras.
Asi , x es divisor comùn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 10ª3 b2 y 15ª4b.
Una expresión algebraica es prima cuando sòlo es dividible por ella misma y por la unidad. Asì ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresiones primas.
Dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si cuando el ùnico divisor comun que tienen es la unidad ,como 2x y 3b; a+b y a-xMÁXIMO COMUN DIVISOR de dos o mas expresiones algebraicas es grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas .
Asi , el m.c.d. de10a2b y 20a 3 es 10a 2; el m.c.d. de 8a 3n2, 24an3 y 40a 3n4p es 8an2
M.C.D. DE POLINOMIOS.
REGLA.
Se halla el m.c.d.de los coeficientes y a continuación de èste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresionesdadas.
(1) Hallar el m.c.d. de a2x2 y x a3 bx
el m.c.d. de los coeficientes es 1. las letras comunes son a y x tomamos a con su menor exponente : a2 y x con su menor exponente x; la b no se toma porque no es comun . el m.c.d. sera a2x. R.
(2) Hallar el m.c.d. de 36a 2b4, 48a 3b3c y 60a 4b3m
descomponiendo en factores primos los coeficientes ,tenemos . 36a 2b4=22.32.a2b4
48a3 b3c=24.3.a3b3c60a4b3m=22.3.5.a4b3m
el m.c.d. de los coeficientes es 22 .3. las letras comunes son a y b . tomamos a con su menor exponente : a2 y b con su menor exponente : b3; c y m no se toman porque no son comunes. Tendremos: m.c.d. = 22.3.a2b3= 12a2b3 R.
M.C.D DE POLINOMIOS
Al hallar el m.c.d. de dos o mas polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición...