Mecanica Computacional

I. OBJETIVOS:

* Conocer los algoritmos utilizados para la obtención numérica de integrales y aplicarlos en la solución de problemas de ingeniería.
* Implementar programas que permitan el cálculo de integrales, empleando diferentes algoritmos para su solución, considerando en la implementación los diagramas de flujo y el código correspondiente.

II. FUNDAMENTO TEORICO:

Eningeniería se presenta con frecuencia la necesidad de calcular la integral de una función. La función que va a integrarse estará, en general, en una de las tres formas siguientes:
1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.
2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
3. Unafunción tabulada en donde los valores de x y f(x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.
Las fórmulas de integración deNewton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.
Se dispone de lasformas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente enla solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

A. REGLA DE INTEGRACIÓN DEL RECTÁNGULO

Si en cada sub-intervalo consideramos un rectángulo, que tiene como base la longitud h y como altura f(xk-1), podemos aproximar el área total haciendo la suma de las áreas de todos los sub-intervalos, quedando





b
a
h
f(xk-1)xk
xk-1
f(x)







B. REGLA DEL PUNTO MEDIO

Este caso difiere del anterior ya que tomamos como altura del rectángulo la imagen del punto medio del intervalo [xk-1,xk] en lugar del extremo.
(xk-1+ xk)/2
a
b
f((xk-1+ xk)/2)
f(x)








C. REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio o regla trapezoidales una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Considérese la función f(x), cuya gráfica entre los extremos x=a y x=b se muestra en la Figura 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ∆X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la Figura 1. Llamando a las ordenadas yi para i=1,2,3,……,n+1, las áreas de lostrapecios son:

| | (1) |
Figura 1 Método del Trapecio |

El área total comprendida entre x=a y x=b está dada por:
| | (2) |
Sustituyendo las ecuaciones (1) en esta expresión se obtiene:
| | (3) |
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
| | (4) |
En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños yaproximar la curva y=f(x) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.

D. INTEGRACIÓN NUMÉRICA - REGLA DE SIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la...