mecanica de fluidos

CIRCUITO RC
Se llama circuito RC a la combinación
en serie de un capacitor y un resistor.
Dicho circuito puede representar
cualquier conexión de resistores y
capacitores cuyo equivalente sea un
solo resistor en serie con un solo
capacitor.

CIRCUITO RC
En la figura se
muestra un circuito
RC conectado a una
fuente de voltaje
continuo.
El
interruptor
tiene
como
objetivo
cargary descargar
al capacitor.

CIRCUITO RC
El proceso inicia cuando el interruptor se
conmuta a la posición “a” en el tiempo t=0 [s] y
se considera que el capacitor se encuentra
descargado. Aplicando ley de kirchhoff a la
malla

VR + Vc = ε

R ⋅ I + VC = ε
dVc
I = I R = IC = C
dt

CIRCUITO RC
Sustituyendo

dVC
R ⋅C
+ Vc = ε
dt
dVC
1
1
+
)
Vc = ε(
dt
R ⋅C
R ⋅CCIRCUITO RC
Ecuación diferencial lineal de primer orden, no
homogénea y de coeficientes constantes, cuya
solución consta de dos partes: la solución
homogénea y la solución particular.
1º. La solución homogénea

dVch Vch
+
=0
dt
RC
dVch
1
=−
dt
Vch
RC

CIRCUITO RC
Al integrar
igualdad.

ambos

miembros

t
ln Vch + C1 = −
RC
C1 = − ln K

Vch
t
ln
=−
k
RC

de

laCIRCUITO RC
Obteniendo el antilogaritmo en ambos
miembros.

Vch
=e
K

t
−
RC

Vch = Ke

t
−
RC

CIRCUITO RC
2º. La solución particular

Debido
a
que
el
segundo miembro de la
ecuación diferencial no
homogénea
es
una
constante, la solución
particular será del tipo

Vcp = A
A = cons tan te
1
ε
A=
RC
RC
A = ε = Vcp

CIRCUITO RC
La solución completa esVc ( t ) = Vch + Vcp = Ke

−

t
RC

Como Vc (0) = 0 = ke + ε
0

+ε

CIRCUITO RC
entonces

k = −ε
Finalmente
Vc ( t ) = ε(1 − e

−

t
RC

)

CIRCUITO RC

la corriente
dVc
ε
I c (t) = C
= e
dt
R

t
−
RC

CIRCUITO RC
Definiendo la constante de tiempo como

τc = RC
Las ecuaciones anteriores se expresan como:

CIRCUITO RC


−
1 − e τ c
Vc ( t) = ε


t

ε
Ic ( t ) = e
R

t
−
τc






CIRCUITO RC
Las siguientes figuras
muestran las gráficas
de
las
ecuaciones
anteriores en función
del tiempo y con una
escala en múltiplos de

τc

t

Vc

Ic

0.5τc

0.394

0.607

τc

0.632

0.368

2τc

0.865

0.135

3τc

0.950

0.050

4τc

0.982

0.018

5τc

0.993

0.007

6τc0.998

0.002

CIRCUITO RC
Gráfica de voltaje en el capacitor
Voltaje en el capacitor
1.2
1
0.8
Vc 0.6
0.4
0.2
0
0

2

4
t[s]

6

8

CIRCUITO RC
Gráfica de corriente en el capacitor
Corriente en el capacitor
0.7
0.6
0.5
Ic

0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

2

4
t[s]

6

8

CIRCUITO RC
En las gráficas o en las ecuaciones, se observa
que el capacitor, paracuando, se carga y
adquiere el voltaje de la fuente ε. Para
entonces ya no existe diferencia de potencial
en las terminales del resistor, por lo que la
corriente es cero, es decir, si

t→∞

Vc (∞) = ε
I c (∞ ) = 0

CIRCUITO RC
Afortunadamente no es necesario
esperar
un
tiempo
infinito
para
considerar que el capacitor se ha
cargado, de acuerdo con las gráficas
para el tiempo
t =4τ c
el capacitor prácticamente ya se cargo y
la corriente es casi nula. Es decir, para

CIRCUITO RC

t = 4τ c
se ha alcanzado el 98.2% del valor final
del voltaje en el capacitor y se tiene el
1.8% de la corriente inicial en el circuito;
es por ello que, para fines prácticos, se
considera que para

t ≥ 4 τc

se han alcanzado las condiciones estables del
circuito.

CIRCUITO RCResumiendo:
En el tiempo t=0 el capacitor se comporta como
un corto circuito ya fluye la máxima corriente.
En el tiempo t = 4 τ o mayor el capacitor se
comporta como circuito abierto ya que en sus
extremos tiene un voltaje, prácticamente, igual
al de la fuente y ya no circula corriente.

CIRCUITO RC
Si Después de cargado el capacitor hasta
alcanzar una diferencia de potencial Vc=V0...