Media Mediana Y Moda

M edia, m ediana, m oda
y o tras m edidas
d e t endencia c entral

NOTACiÓN DE íNDICES
Denotemos por Xj (léase "X sub l ') cualquiera de los N valores XI' X2 , X 3"'" XN que toma
una variableX. La l etrajenXj , que puede valer 1 ,2,3, . .. , N se llama subíndice. Es claro que
es posible emplear cualquier otra letra en vez d ej; p or ejemplo, i, k, p , q o s.

El símbolo I1=1 Xj denota lasuma de todos los Xj desde j = 1 hasta j = N; por definición,
N

LX

j

= X I + X 2 + X 3 + . .. + X N

j =1

Cuando no ocasione confusión, se denotará esa suma simplemente con
El símbolo I es la letra griega sigma mayúscula, que significa suma.

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

3

j

j

N

? Xjlj = XI YI + X2Y2 + X3 Y3 + . .. + XNYN

} =¡

N

N

¿ aXj = aX¡ + aX2 + . .. +aXN = a(X¡ + X2 + . .. + XN = a LXj
)

~

~

.

donde a es una constante. Más simple:

EJEMPLO

Ix, IX o I J0.

y

Si a, b c son constantes, entonces

I

aX = a I x.

I(aX + b Y - cZ) = a I x + b I y - e I z (véase el problema 3.3).

PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de una conjunto de datos. Como tales valores suelensituarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios se conocen como medidas de tendencia central.

\,
La m edia aritmética p onderada.

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S e definen varios tipos. siendo los más comunes l a m edia aritmética. l a mediana. l a
moda. l a m edia geométrica y l a m edia armónica. C ada u na tiene ventajas y desventajas.
según los datos y el objetivoperseguido .

.·'.J..@$UUJiiUk$$)ii4 \ LA

MEDIA ARITMÉTICA

L a m edia aritmética. o s implemente media. d e un conjunto d e N n úmeros X I' X2 • X 3 • •••• X N
s e denota p or X(léase " X b arra") y s e define p or

(1)

EJEMPLO

4

La media aritmética de los números 8. 3. 5 .12 Y 10 es

X = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7.6
5

5

Si los números X I' X2. .... X Ko currenJ¡.h. .. .•fK veces. respectivamente (es decir, con
f recuenciasJ¡.h •...• fK).la media aritmética es

(2)

d onde N

EJEMPLO

5

=L f es lafrecuencia total (es decir. el número total d e casos).

Si 5, 8. 6 Y2 ocurren con frecuencias 3. 2 .4 Y 1, en ese orden. su media aritmética es

X = (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) = 15 + 16 + 24 + 2 = 5.7
10

3 +2+4+1

LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADAA veces se asocia a los números X I' X2• •••• XKciertosfactores de peso (o pesos) W¡.
d ependiendo de la influencia asignada a cada número. E n tal caso.

x=

k
_+_.'_'_+_W.::K_X...::.
+ ... + WK

_\1....:.'1X--'-I_+_W.::.2X
----"-2

W¡ + w2

L WX

•
W 2• •••• W K

(3)

LW

s e llama media aritmética ponderada c on pesos J¡. h .... ./K' O bsérvese l a similitud con laecuación (2). q ue puede considerarse una media aritmética ponderada con pesosJ¡,f2'" .,fK'

EJEMPLO 6

Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estudiante obtiene una calificación de 85 en el examen final. y 70 Y90 en los dos parciales, la calificación
media es

X = (1)(70) + (1)(90) + (3)(85)
1 +1+3

= 415 = 83

5

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CAPíTULO 3 •Media, mediana, moda y otras medidas d e tendencia central

PROPIEDADES DE LA M EDIA ARITMÉTICA
1.

EJEMPLO 7

L a s uma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a su
media aritmética es cero.

Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 Y10 en relación con su media aritmética 7.6 son 8 - 7.6,

3 - 7.6, 5 - 7.6, 1 2-7.6y 1 0-7.6, o sea, 0.4,--4.6,-2.6,4.4Y2.4, con suma algebraica 0 .4-4.6- 2.6
+ 4.4 + 2.4 =O.
2.

L a s uma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj con respecto de un cierto número a es mínima si y sólo si a =X (véase el problema 4.27).

3.

S i/¡ números tienen media m¡,A números tiene media ~, .. . ,fK números tienen media
mK , entonces la media de todos los números es

X =I¡m¡ +12 m2 + ... +IKmK...