Media, mediana y moda

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información en un numero representativo. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.
Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientementede que esta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.
Entre las medidas de tendencia central tenemos:
* Media aritmética.
* Media ponderada.
* Media geométrica.
* Mediana.
Moda.
1. MEDIA
Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan parael manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.
 
Media Aritmética = Suma de todos los valores observados
Numero total de observacionesCuando los valores representan una población la ecuación se define como:

 
Donde (m) representa la media, (N) representa el tamaño de la población y (Xi) representa cada uno de los valores de la población. Ya que en la mayoría de los casos se trabajan con muestras de la población todas las ecuaciones que se presenten a continuación serán representativas para las muestras. La media aritmética parauna muestra esta determinada como
 

 
Donde (X) representa la Media para la muestra, (n) el tamaño de la muestra y (Xi) representa cada uno de los valores observados. Esta fórmula únicamente es aplicable si los datos se encuentran desagrupados; en caso contrario debemos calcular la media mediante la multiplicación de los diferentes valores por la frecuencia con que se encuentren dentro de lainformación; es decir,
 

Donde (Yi) representa el punto medio de cada observación, (ni) es la frecuencia o número de observaciones en cada clase y (n) es el tamaño de la muestra siendo igual a la suma de las frecuencias de cada clase.

Para entender mejor este concepto vamos a suponer que hemos tomado la edad de 5 personas al azar cuyos resultados fueron (22, 33, 35, 38 y 41). Para facilitar suinterpretación se han generado tres rangos de edad los cuales se han establecido de 21 a 30 años, de 31 a 40 años y de 41 a 50 años. Si nos fijamos en estos rangos notaremos que los puntos medios son 25, 35 y 45 respectivamente. Los resultados de la organización de estos datos se representan en la tabla [5-1].
 
 
Si aplicamos la fórmula para valores agrupados obtendríamos que la media es igual a

 
Loque nos indicaría que el promedio de edad de los encuestados es de 35 años. Si ha estos mismos resultados le aplicamos la ecuación para datos desagrupados (Ecuación 5-3), tomando como referencia cada uno de los valores individuales, obtendríamos que la media es igual a

 
Lo que nos indicaría que el promedio de edad para los datos desagrupados es de 34 años aproximadamente. Esta diferencia se debea que al agrupar los datos se pierde parcialmente la exactitud de los cálculos, principalmente al aumentar el número de datos.
 
Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:
* Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
* Su valor es único para una serie de datos dada.
* Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiadoacompañarla de una medida de dispersión.
* Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

* Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de es mínimo cuando . Este resultado se conoce como...