Metodo Cholesky

METODO DE CHOLESKY
Concepto:
El método, factorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y su traspuesta.
Cualquier matriz cuadrada A con pivotes no nulos puede ser escrita como el producto de una matriz triangularinferior L y una matriz triangular superior U, esto recibe el nombre de factorización L U.
Sin embargo, si A es simétrica y definida positiva se puede escoger los factores tales que U es la transpuesta de L y esto se llama descomposición o factorización de Cholesky. Tanto la descomposición LU. Como la descomposición de Cholesky son usadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Cuando esaplicable, la descomposición de Cholesky es dos veces más eficiente que la descomposición LU.
Definición
En general, si A es Hermitiana y definida positiva, entonces A puede ser descompuesta como
A=LL*
Donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales estrictamente positivas, y L* representa la conjugada traspuesta de L. Esta es la descomposición de Cholesky.
Ladescomposición de Cholesky es única: dada una matriz Hermitiana positiva definida A, hay una única matriz triangular inferior L con entradas diagonales estrictamente positivas tales que A = LL*. El recíproco se tiene trivialmente: si A se puede escribir como LL* para alguna matriz invertible L, triangular inferior o no, entonces A es Hermitiana y definida positiva.
El requerimiento de que L tenga entradasdiagonales estrictamente positivas puede extenderse para el caso de la descomposición en el caso de ser semidefinida positiva. La proposición se lee ahora: una matriz cuadrada A tiene una descomposición de Cholesky si y solo si A es Hermitiana y semidefinida positiva. Las factorizaciones de Cholesky para matrices semidefinidas positivas no son únicas en general.
En el caso especial que A es unamatriz positiva definida simétrica con entradas reales, L se puede asumir también con entradas reales. Una Matriz D diagonal con entradas positivas en la diagonal, es factorizable como D=DD, donde D es matriz cuya diagonal consiste en la raíz cuadrada de cada elemento de D, que tomamos como positivos Así:
A=LU=LDU0=LDLt=LDDLt=LD(DLt=LDLDt=KKt
Condición para usar el método de Cholesky:* La matriz de coeficientes debe ser simétrica y además debe ser definida positiva.
Una matriz es simétrica cuando su traspuesta es la misma matriz.
Ej.:

* Es definida positiva cuando su determinante es mayor a cero.
Aplicación
La descomposición de Cholesky se usa principalmente para hallar la solución numérica de ecuaciones lineales de la forma:
Ax = b
Donde:
A = es la matriz decoeficientes.
x = es el vector columna de variables.
b = es el vector columna de términos independientes.
Si A es simétrica y definida positiva, entonces se puede solucionar:
Ax = b
Calculando primero la descomposición de Cholesky:
A = L*LT
Luego resolviendo:
Ly = b
Para “y” por sustitución,
Y finalmente resolviendo:
LTx = y
Para “x” por retro sustitución.

SOLUCION DE ECUACIONESPOR EL MÉTODO DE CHOLESKY
Un Sistema de Ecuaciones Lineales:
a11x1+ a12x2+ … + a1nxn= b1
a21x1+ a22x2+ … + a2nxn= b2
…
am1x1+ am2x2+ … + amnxn= bm
Puede expresarse de la siguiente forma : A*X=B
A=a11a12…a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn X= x1x2⋮xn B= b1b2⋮bm
Factorización de Cholesky
En matemáticas, lafactorización o descomposición de Cholesky toma su nombre del matemático André-Louis Cholesky, quien encontró que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original definida positiva.
A=L* LT

L(f,c)= A(f,c)-...