Metodo De Cuadratura De Gaus

EL METODO DE CUADRATURA DE GAUSS.
El método de cuadratura de Gauss es un excelente método numérico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles deimplementar. Por otra parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales.
Antes de ver el método de cuadratura de Gauss propiamente tal necesitamos introducir la Interpolación deLagrange: Consideremos una función continua definida en un intervalo (a; b), y un polinomio cualquiera ∅n de grado n, con n raíces simples en el intervalo (a; b). El método de interpolación de Lagrangeconsiste en encontrar un polinomio de grado n-1 que coincida con la función f(x) dada, precisamente en los ceros de ∅n. Este polinomio de interpolación esta dado explícitamente por
1fx=i=1nfn,i∅x∅´xn,ix-xn,i,
En que la abcisa xn,i es el cero i - esimo de ∅n.
Nótese que cada uno de los sumandos en (1) es un polinomio de grado n-1, pues cada unode los factores,∅(x)n(x-xn,i) es un polinomio de grado n-1 dado que xn,i es precisamente una raíz de ∅n(x). Por otra parte, tenemos ya sea,
(2)limx→xn,k∅n(x)∅´nxn,i(x-xn,i)=0
Si k≠i, o´
(3) limx→xn,k∅n(x)∅´nxn,k)(x-xn,k)=1
Donde hemos usado l'Hopital para evaluar este último limite.
Consideremos elespacio de funciones L2a,b,wxdx, i.e., funciones reales de cuadrado integrable en el intervalo [a, b] con respecto a la función de peso dada wx>0. Llamemos ∅n, a la familia de polinomios ortogonales(construidos a partir de las potencias 1, x, x2,…, , usando el método de Gramm - Schmidt con el producto interno usual, i, e., f,g=abfxgxwxdx) Hemos visto más arriba que elpolinomio ∅n (de grado n) tiene precisamente n ceros simples en el intervalo (a; b). Llamemos xn,i , i=1,…,n a estos ceros
Consideremos ahora una función f(x) que sea un polinomio cualquiera (pero...