Metodo De Euler

Ecuaciones diferenciales ordinarias.
1 .-Método de Euler.
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es el más simple de los métodos para resolver un problema del siguiente tipo:

1.2 Procedimiento.Consiste en dividir los intervalos que va de  a  en  subintervalos de ancho ; osea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto de  puntos:  del intervalo de interes . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

 .

La condición inicial , representa el punto  por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como .
Ya teniendo elpunto  se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:

Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  y de pendiente . Esta recta aproxima  en una vecindad de . Tómese la recta como reemplazo de  y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:

Se resuelve para :

2.- Método de Eulermejorado.
Dado un problema con una condición inicial
, con 
el método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en la aplicación de las siguientes fórmulas iterativas:

para calcular las aproximaciones sucesivas  a los valores a los valores [verdaderos]  de la solución [exacta]  en los puntos  respectivamente.
El método de Euler mejorado pertenece a una categoría de técnicas numéricasconocidas como métodos predictor-corrector. Primero se calcula un predictor  del siguiente valor de ; después, se usa éste para corregirse a sí mismo. Así el método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en utilizar el predictor

y el corrector

iterativamente para calcular las aproximaciones sucesivas del problema.



3.- Método Runge-Kutta
Es un método numérico comúnmenteusado para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma Dy /dx =f(x,y)

3.2.- Procedimiento.
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».
Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por lasiguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde  es la pendiente al principio del intervalo,  es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando  para determinar el valor de y en el punto usando el método deEuler.  es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando  para determinar el valor de y;  es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de ,mientras que el error total acumulado tiene el orden . Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de , razón por la cual es usado en los métodos computaciones.

4.- Método adaptativo de runge kutta.
HASTA AHORA SE HAN PRESENTADO METODOS PARA RESOLVER LAS EDO QUE EMPLEAN UN TAMAÑO DE PASO CONSTANTE. EN UN NUMERO SIGNIFICATIVO DE PROBLEMAS, ESTO LLEGA A REPRESENTAR UNA SERIA LIMITACION.Por ejemplo, suponga que pretendemos integrar una EDO con una solución del tipo expuesto.
En la mayor parte del intervalo, la solución cambia de manera gradual. Tal comportamiento sugiere la posibilidad de emplear un tamaño de paso grande para obtener resultados adecuados; sin embargo, en una región Localizada desde x= 1.75 hasta  x= 2.25, l a solución tiene un cambio abrupto.

La...