Metodo De Euler

Método de Euler:
Se aplica para encontrar la solución a ecuacuaciones diferenciales ordinarias, esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente:

dy = f(x,y)con condición inicial de: y (x0) = y0
dx



El método de euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promediosobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi

Formulas: yi+1= yi + f(xi , yi)h
Xi+1=xi+h

EJEMPLO:
Resolveranalíticamente y con el método de euler:

dy = x y(1)=(2)
dx y

* Solución analítica:
y dy = x dx

y2 = x2 + C ; 22 = 12 + C ;2 2 2 2

C= 2 – 1 ; C= 3 ;
2 2

y2= x2 + 3 ; y=x2+ 3

* Método de euler:
X0= 1 y0= 2 h= 0.5X1= x0 + h = 1 + 0.5 = 1.5
y1= y0 + x0y0h = 2 +12 0.5= 2.25

X2= x1 + h = 1.5 + 0.5 = 2
Y2= y1 + x1y1h = 2.25 +1.52.25 0.5= 2.583

X3= x2 + h = 2 + 0.5 = 2.5
Y3= y2 + x2y2h = 2.583 +22.583 0.5=2.97

X4= x3 + h = 2.5 + 0.5 = 3
Y4= y3 + x3y3h = 2.97 +2.52.97 0.5= 3.391

Hacemos una tabla:
X | Y1 (analítica) | Y2 (euler) | Error |
1 | 2 | 2 | 0% |
1.5 | 2.291 | 2.25 | 1.8% |
2 |2.646 | 2.583 | 2.4% |
2.5 | 3.041 | 2.970 | 2.3% |
3 | 3.464 | 3.391 | 2.1% |

Si graficamos:

Línea roja: es la aproximación que nosotros obtenemos
Línea negra: solución analitica

Métodode Euler mejorado:
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmula es lasiguiente: 
 
donde
 
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a...