metodo de falsa posicion
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Publicado: 29 de junio de 2013
Método de la Falsa Posición
Sigue el mismo procedimiento excepto que debe ser evaluada la función periódicamente entre los siguientes puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) para acotar la raíz por ambos lados; mediante la siguiente ecuación:
xr = x2 – f(x2)*(x1-x2)/(f(x1)-f(x2)).
Algoritmo:
Con los valores iniciales de x1 y x2, se evalúa la función f(x1) y f(x2) se evalúa un valor de xr,calculado con la ecuación anterior, se reemplaza por uno de los dos valores iniciales x1 0 x2, que produzca un valor de la función que sea siempre de el mismo signo de la función f(x), de esta manera se garantiza que los valores x1y x2 encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación de la raíz sea adecuada al error o tolerancia establecida.
A manera de recordatorio, para queaparezcan solamente 6 cifras significativas, en Excel esto se hace en el menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Número, Posiciones decimales 6. Para poner el signo porcentual: menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Porcentaje.
EJEMPLO 1
Encontrar la raíz de .
Fórmulas en Microsoft Excel
Resultados en Microsoft Excel
Gráfico de la Función
La raíz de f(x)=e^(x-1)-5*x^(3) esaproximadamente 0.494016, con un error de 0.0001.
EJEMPLO 2
Encontrar la raíz de .
Resultados en Microsoft Excel
Gráfico de la Función
La raíz de f(x)=x^(2)-x+0.24 es aproximadamente 0.599865, con un error de 0.001.La raíz aproximada de la función es 1.054688 con un error de 0.001.
INTRODUCCIÓN:
El análisis numérico, aunque históricamente ha sido utilizado desde el principio de lacivilización, solamente alcanzó un nivel de desarrollo suficiente en el siglo anterior, debido fundamentalmente a la aparición y desarrollo de las computadoras, como herramienta de apoyo. Básicamente, se puede definir el análisis numérico como “un conjunto de métodos que permiten resolver problemas de cálculo aritmético utilizando aproximaciones numéricas sucesivas hasta llegar a un nivel deexactitud deseable”.
En ejemplo típico de aplicación de análisis numérico sería el siguiente:
“A una función de circo asistieron 120 personas. El total de lo recaudado fue de Q120.00. Si los niños pagaron Q 0.10, las mujeres Q 2.00 y los hombres Q 5.00 por la entrada, cuántos niños, mujeres y adultos asistieron a la función?.
Si se intenta resolver análiticamente el problema, rápidamente se cae ala siguiente estrategia:
Sea x el número de niños, y el numero de mujeres, y finalmente z el número de hombres
Entonces: x+y+z=120 y por otra parte: 0.1x+2y+5z=120
Sin embargo, se tiene el problema de que existen tres incógnitas y solamente 2 ecuaciones. Por lo tanto el problema es subdeterminado y no existe solución analítica.
Otro ejemplo sería el siguiente:
Un número estáformado por cinco dígitos no repetidos: abcde. Si el número se multiplica por 4, se obtiene otro número edcba. Cuál es el número?
No es posible establecer una solución analítica a este problema. Aunque es posible realizar un razonamiento teórico, se debe intentar con varios números hasta finalmente lograr el resultado deseado.
Comparado con el procedimiento analítico, el análisis numéricoofrece las siguientes ventajas:
1) No se requiere de manipulaciones algebraicas (simplificaciones, sustituciones, factorización, etc).
2) Se puede partir de algún valor inicial para aproximarse posteriormente a una solución final.
3) Si se dispone de equipo de cómputo, la solución se obtiene en forma rápida y suficientemente exacta.
Algunos autores consideran, sin embargo, que tienealgunas desventajas, siendo las más importantes:
1) El proceso de aproximaciones, aunque es simple es tedioso en el sentido de que hay que repetir muchos cálculos numéricos.
2) La rapidez con que se llega al resultado inicial muchas veces depende de la aproximación inicial que se elija
3) En algunos casos, la aproximación a la respuesta final no llega (No hay solución).
El...
Método de la Falsa Posición
Sigue el mismo procedimiento excepto que debe ser evaluada la función periódicamente entre los siguientes puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) para acotar la raíz por ambos lados; mediante la siguiente ecuación:
xr = x2 – f(x2)*(x1-x2)/(f(x1)-f(x2)).
Algoritmo:
Con los valores iniciales de x1 y x2, se evalúa la función f(x1) y f(x2) se evalúa un valor de xr,calculado con la ecuación anterior, se reemplaza por uno de los dos valores iniciales x1 0 x2, que produzca un valor de la función que sea siempre de el mismo signo de la función f(x), de esta manera se garantiza que los valores x1y x2 encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación de la raíz sea adecuada al error o tolerancia establecida.
A manera de recordatorio, para queaparezcan solamente 6 cifras significativas, en Excel esto se hace en el menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Número, Posiciones decimales 6. Para poner el signo porcentual: menú Formato, Celdas…, Número, Categoría Porcentaje.
EJEMPLO 1
Encontrar la raíz de .
Fórmulas en Microsoft Excel
Resultados en Microsoft Excel
Gráfico de la Función
La raíz de f(x)=e^(x-1)-5*x^(3) esaproximadamente 0.494016, con un error de 0.0001.
EJEMPLO 2
Encontrar la raíz de .
Resultados en Microsoft Excel
Gráfico de la Función
La raíz de f(x)=x^(2)-x+0.24 es aproximadamente 0.599865, con un error de 0.001.La raíz aproximada de la función es 1.054688 con un error de 0.001.
INTRODUCCIÓN:
El análisis numérico, aunque históricamente ha sido utilizado desde el principio de lacivilización, solamente alcanzó un nivel de desarrollo suficiente en el siglo anterior, debido fundamentalmente a la aparición y desarrollo de las computadoras, como herramienta de apoyo. Básicamente, se puede definir el análisis numérico como “un conjunto de métodos que permiten resolver problemas de cálculo aritmético utilizando aproximaciones numéricas sucesivas hasta llegar a un nivel deexactitud deseable”.
En ejemplo típico de aplicación de análisis numérico sería el siguiente:
“A una función de circo asistieron 120 personas. El total de lo recaudado fue de Q120.00. Si los niños pagaron Q 0.10, las mujeres Q 2.00 y los hombres Q 5.00 por la entrada, cuántos niños, mujeres y adultos asistieron a la función?.
Si se intenta resolver análiticamente el problema, rápidamente se cae ala siguiente estrategia:
Sea x el número de niños, y el numero de mujeres, y finalmente z el número de hombres
Entonces: x+y+z=120 y por otra parte: 0.1x+2y+5z=120
Sin embargo, se tiene el problema de que existen tres incógnitas y solamente 2 ecuaciones. Por lo tanto el problema es subdeterminado y no existe solución analítica.
Otro ejemplo sería el siguiente:
Un número estáformado por cinco dígitos no repetidos: abcde. Si el número se multiplica por 4, se obtiene otro número edcba. Cuál es el número?
No es posible establecer una solución analítica a este problema. Aunque es posible realizar un razonamiento teórico, se debe intentar con varios números hasta finalmente lograr el resultado deseado.
Comparado con el procedimiento analítico, el análisis numéricoofrece las siguientes ventajas:
1) No se requiere de manipulaciones algebraicas (simplificaciones, sustituciones, factorización, etc).
2) Se puede partir de algún valor inicial para aproximarse posteriormente a una solución final.
3) Si se dispone de equipo de cómputo, la solución se obtiene en forma rápida y suficientemente exacta.
Algunos autores consideran, sin embargo, que tienealgunas desventajas, siendo las más importantes:
1) El proceso de aproximaciones, aunque es simple es tedioso en el sentido de que hay que repetir muchos cálculos numéricos.
2) La rapidez con que se llega al resultado inicial muchas veces depende de la aproximación inicial que se elija
3) En algunos casos, la aproximación a la respuesta final no llega (No hay solución).
El...
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