Metodo de givens

2012

MATRIZ DE ROTACIÓN DE GIVENS
ASIGNATURA: MÉTODOS NÚMERICOS



ÍNDICE
1.- ¿Qué son las matrices de rotación de Givens?.............................................................3

2.- ¿Cómo se realizan las matrices de rotación de Givens?...............................................4

3.- Resolución de problemas de las matrices de rotación de Givens…………………...10 3.1. - Ejemplo1………………………………………………………………....11 3.2 - Ejemplo 2………………………………………………………………....13

4.- Experimentación con Mathematica………………………………………………....17 4.1 - Ejemplo 1 con Mathematica de una matriz 3x3……………………...…...17 4.2 - Ejemplo 2 con Mathematica de una matriz 2x2………………………..…18

5.- Aplicaciones utilizadas con el método de Givens…………………………………..21 5.1.- Relacionadas con la carrera…………………………………………….…215.1.1.- “Simplificaciones y aplicaciones de la condición de colinealidad”…………………………………………………………………………………….21 5.1.2.- Ajuste de haces para ajuste de haces para autocalibrar cámaras no-métricas con aportación de los algoritmos de renumeración para sistemas lineales……………………………………………………………………………….....25 5.1.3.- Reducción del número de condición y deficiencia de rango en los sistemas de ecuacionesasociados a las observaciones de satélites…………………....26 5.1.4.- Práctica PTZ Calibración de la cámara usando las rotaciones de Givens...…………………………………………………...……………………………27 5.2.- Fuera de la carrera………………………………………………………...27 5.2.1.- Interfaz de usuario de software de síntesis de multiplexores de microondas para aplicaciones espaciales……………………………………………...27

6.-Bibliografía………………………………………………………………………….29

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1.- ¿QUÉ SON LAS MATRICES DE ROTACIÓN DE GIVENS?
Todos los métodos de cálculo de valores y vectores propios son iterativos y pueden necesitar un considerable esfuerzo de cálculo. Las transformaciones de semejanza conservan los valores propios.

- Si una transformación de semejanza convierte una matriz en diagonal, los valores propios son los elementos de la diagonal: - No existe ninguna transformación de semejanza que diagonalice unamatriz con un número finito de operaciones aritméticas. - Hay transformaciones que hacen cada vez más pequeños los elementos de fuera de la diagonal, pero hacen falta infinitos pasos para hacerlos cero.

- Existen transformaciones de semejanza que con un número finito de operaciones transforman una matriz en otra más sencilla: - Existen transformaciones que convierten una matriz a la forma deHessenberg, que es una matriz triangular superior con una sub-diagonal. - Si la matriz es simétrica se puede transformar en una matriz tridiagonal. - Estas transformaciones se suelen aplicar como paso previo para abaratar el coste del proceso iterativo posterior.

- Las transformaciones más utilizadas son Givens y Householder.

*Transformaciones de Givens: - A diferencia de las transformaciones deHouseholder, las transformaciones de Givens hacen un sólo cero cada vez. - Se utilizan cuando es necesario hacer ceros selectivamente, por ejemplo cuando la matriz de partida es ya tridiagonal o tiene la forma de Hessenberg.

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2.- ¿CÓMO SE REALIZAN LAS MATRICES DE ROTACIÓN DE GIVENS?
Se denomina transformación de Givens, a una transformación lineal H: Rn Rn, caracterizada por una matrizcon diagonal 1 y cuyos elementos G(i,i), G(i,j), G(j,i), G(j,j) para ij se obtiene utilizando la matriz Ri, j( θ). Por ello, para lograr un cero en la posición, digamos (3,2), utilizamos la matriz de rotación R2 , 3 ( θ) en la cual intervienen las filas 2 y 3. Por supuesto que si A es simétrica, también aparecerá un cero en posición ( 2, 3 ).

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3.1.- EJEMPLO 1:
Sean A la matriz y b elvector del problema Ax = b

Empezamos definiendo la primera matriz ortogonal Q21 definida por

con

esto es

y por lo tanto

Ahora pasamos a definir la segunda matriz ortogonal

con

11

esto es

y por lo tanto

Finalmente la tercera matriz ortogonal es:

con

esto es

y por lo tanto

12

además

O lo que es...