Metodo De Reduccion

Método de reducción


Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número.
Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de losmiembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo

[pic]
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones
[pic]
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
[pic]
que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
[pic]
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la [pic] desaparezca al sumarambas ecuaciones.
Sustituyendo [pic] por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
[pic]
que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es   [pic].

Texto en negrita’ texto
Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
[pic]
donde [pic], [pic], y [pic] representan simplementelos miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
[pic]
Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en [pic] ni en [pic], entonces la ecuación
[pic]
no contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita,digamos [pic] .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye [pic] por su solución en otras ecuaciones donde aparezca [pic] para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones
[pic]
es equivalente a este otro
[pic]
El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en [pic] del miembro de la izquierda al miembro de laderecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que
[pic]
que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es   [pic].

Sustituyendo [pic] por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
[pic]
que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es   [pic].

Método de sustitución
Supongamos que un sistema deecuaciones se puede poner de la forma
[pic]
Entonces podemos despejar [pic] en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:
[pic]
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí   [pic]   y   [pic]   son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.


Ejemplo

Intentemos resolver
[pic]
La primera ecuación sepuede rescribir de la forma
[pic]
Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
[pic]
Sustituyendo   [pic]   por [pic] en
[pic]
se tiene que
[pic]
que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es [pic].
Sustituyendo [pic] por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
[pic]
cuya solución es  [pic].

 Método de Gauss
Gauss es uno de los matemáticos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistemaequivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz...