metodo newton

3 a)

Dada la función f(x,y,z) = x^2+y^2+2z^2 y el punto inicial X0 = (2,-2,1) usaremos el método de newton para hacer 2 iteraciones y encontrar el mínimo de la función.

Enun principio encontramos las derivadas parciales de la función y por ende, el vector gradiente:
Df/dx = 2x
Df/dy = 2y
Df/dz = 4z

Por ende el vector gradiente (trianguloabajo)f = (2x,2y,4z)

Posteriormente, derivaremos nuevamente las 3 derivadas parciales (con respecto a las 3 variables existentes cada una) para obtener la matriz hessiana y luego suinversa:

D^2 f/dx^2 = 2
D^2 f/dy^2 = 2
D^2 f/dz^2 = 4

Las otras 6 derivadas parciales serán 0, ya que se están derivando con respecto a una variable la cual no aparece enla primera derivada parcial.
Dicho esto, la matriz Hessiana Hf =
y su inversa Hf^-1 =





Notar que la matriz Hessiana, tanto como su inversa son fijas, es decir, encada iteración se usará la misma matriz inversa.

Ya obtenidos todos los datos necesarios, empezamos con el método de newton hasta obtener que el módulo del vector gradiente en unpunto determinado sea 0 o muy próximo a 0.

Para k=0 P0=(2,-2,1)

Evaluamos el vector gradiente (triangulo abajo)f = (2x,2y,4z) en el punto P0 = (2,-2,1) y obtenemos que elvector gradiente en ese punto es (triangulo abajo) f = (4,-4,4).

Para saber si hemos terminado el proceso, calcularemos el módulo del vector gradiente en el punto, obteniendo unvalor de 48^1/2, lo que implica que aún no llegamos al mínimo.

Para encontrar el siguiente punto P1 simplemente realizaremos el siguiente cálculo:
P1 = P0 – (Hf^-1 * (trianguloabajo)f (P0)

 P1= (2,-2,1) – (*(4,-4,4) )

 P1 = (2,-2,1) – (2,-2,1)

 P1 = (0,0,0)
Primera iteración completada. modulo = 0; punto minimo encontrado