Metodo

Recoleccion de recursos naturales

Al recolectar un recurso natural, es importante controlar la cantidad sustraída para que el recurso no se agote por completo. Para lograrlo, debemos estudiar lasespecies particulares implicadas y poner atención a los posibles cambios que puedan ocurrir si el nivel de recolección se incrementa.
Suponga que modelamos la población P(t) de una especie particularde pez con un modelo logístico
dPdt=k*P(1-PN)

Donde k ese el parámetro de la razón de crecimiento y N es la cantidad de soporte del hábitat. Suponga que la pesca remueve un cierto númeroconstante C de peces de la población por estación. Entonces, una modificación del modelo que toma en cuenta la pesca es

dPdt=k*P1-PN-C

¿Cómo varía la población de peces cuando C se incrementa? Estemodelo tiene tres parámetros, k, N y C; pero sólo nos interesa saber qué pasa si C varía. Por tanto, consideraremos a k y a N como constantes fijas determinadas por el tipo de pez y su hábitat.Nuestras predicciones implican los valores de k y N. Por ejemplo, si C=0, sabemos que todas las condiciones iniciales positivas conducen a soluciones que tienden hacia el punto de equilibrio P=N. Entonces,si se prohíbe la pesca, esperamos a que la población sea cercana a P=N. Sea
fc(P)=k*P1-PN-C

Cuando C crece, la gráfica de fc(P) se desliza hacia abajo (Ver figura 1). Los puntos donde fc(P) cruzael eje P tienden uno hacia otro. En otra palabras, los puntos de equilibrio para las correspondientes ecuaciones diferenciales se acercan entre sí.

Figura 1

fc(P)=k*P1-PN-C
Para variosvalores de C. Observe que, al crecer C, la grafica de fc(P) se desliza hacia abajo del eje vertical.

Podemos calcular los puntos de equilibrio resolviendo fc(P)=0, lo que da
k*P1-PN-C=0
o,equivalentemente,
-k*P2+k*N*P-C*N=0

Esta ecuación cuadrática tiene las soluciones
P=N2±N24-C*Nk
En tanto que el término bajo la raíz cuadrada (el discriminante de la cuadrática) sea positivo, la función...