Metodo

4.1 la serie infinita
ex=1+x+x22!+x33!+…+xnn!
Se utiliza para aproximar ex.
a) Demuestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso especial de la expansión en la serie de Taylor [ecuación (4.7)] con xi= 0 y h= x.
b) Use la serie de Taylor para estimar fx=e-x en xi+1= 1 para xi= 0.25. Emplee versiones de cero, primero, segundo y tercer orden, y calcule |εt| para cada caso.
a) conxi=0 y h=x
f(xi+1)=f(xi)+f(xi)h+f''xih22!+f'''xih33!+…f'nxihnn!
f(xi+1)=1+x+x22!+x33!+…xnn!

b) f(x)=e-x en xi+1=1 para xi=0.25
xi=0.25 h=xi+1-xi de n=0 a n=3
xi+1=1 h=0.75
Valor exacto f(1)=e-1=0.3678

Orden cero (n=0) x=0.25
f(0.25)=e-x
f(0.25)= e-0.25
f(0.25)=0.778
f(1)= e-1
εt=0.3678-0.7780.3678x100= -111.68%
Primer orden n=1 x=0.25h=0.75
f(x)=e-x
f’(x)= -e-0.25
f’(x)=0.778
f(xi+1)=- e-x+(- e-x)h
f(xi+1)=- e-0.25+(- e-0.25)0.75
f(xi+1)=0.1947
εt=0.3678-0.19470.3678x100= 47%

4.2. La expansión en serie de Maclaurin para cos x es
cosx=1-x22+x44!-x66!+x88!-…
Iniciando con el primer término cos x=1, agregue los términos uno a uno para estimar cos (π/4). Después de que agregue cada uno de los términos, calcule loserrores relativos porcentuales exactos y aproximados. Use una calculadora para determinar el valor exacto. Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado se encuentre dentro de cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.

1° Termino= cos x=1 =Et= 0.707106781-10.707106781x100= -41.42%
2° Termino= cos x=1X22!=cosπ4=1-π2!2=0.691574862Et=0.707106781-0.6915748620.707106781x100=2.19%
Et=0.691574862-10.691574862=-44.59%
3° Termino= cos x=1-X22!+X44!=1+π422!+π444!=0.707429206
Et=0.707106781-0.7074292060.707106781x100=0.045%
Ea=0.707429206-0.6915748620.707429206x100=2.2411%
4° Termino= cos x=1-X22!+X44!-X66!=1-π422!+π444!-π466!
Cos x= 0.707103214
Et=5.04X10-4
Ea=-0.0429.

4.3 Repita los cálculos del problema 4.2, pero ahora usando la expansión dela serie de Maclaurin para sen x,

sinx=x-x33!+x55!-x77!+…

para evaluar el sen (/4).

Sen (/4) = 0.707106781 valor real

Es = (0.5x102-n) % = (0.5x102-2) % = 0.5%

1° termino = sen x = x sen x = /4 = 0.785398163

Et = -11.072

2° termino = sen x = x - (x3/3!) = 0.704652651

Et = 0.347066393
Ea = -11.45890985

3° termino = sen x = x – (x3/3!) + (x5/5!) = 0.707143045Et = -5.128x10-3
Ea = 0.352176835

4° termino = sen x = x – (x3/3!) + (x5/5!) – (x7/7!) = 0.707106468

Et = 4.4264x10-5
Ea = -5.172771x10-3

4.4 Emplee la expansión de la serie de Taylor de cero hasta tercer orden para predecir f(2) si
fx=25x3-6x2+7x-88
Usando como punto base x= 1. Calcule el error relativo porcentual verdadero εt para cada aproximación.
F(x)=25x3-6x2+7x-88
Base x=1≈ xi=1
Predecir en f(2) ≈ xi+1=2
h = xi+1- xi=1
Función conocida f(1)=-62 empieza
f(2)=102 termina
el valor verdadero a predecir es 102
Aproximación orden 0
F(xi+1) ≅ f(xi) εt=v.verd-v.aproxv.verdx100= 160.8%
F(1) ≅ -62
Aproximación orden 1
F’(xi)=75x2-12x+7
F’(1)=70εt=v.verd-v.aproxv.verdx100=92%
fxi+1≅fxi+fxih
≅-62+70(1)=8
Aproximación orden 2
F’’’(x)=50x-12
fxi+1≅fxi+fxih+f''(xi)h22! εt=v.verd-v.aproxv.verdx100=24.5%
≅-62+70+1382=77
Aproximación orden 3
F’’’(xi)=150
F’’’(1)=150
fxi+1≅fxi+fxih+f''(xi)h22!+fxih33!
fxi+1≅-62+701382+1506=102 εt=v.verd-v.aproxv.verdx100= 0%

4.5. Use la expansión de laserie de Taylor de cero al cuarto orden para estimar f3 si fx=lnx utilizando x= 1 como punto base. Calcule el error relativo porcentual εt para cada aproximación. Analice los resultados.

f3, fx=InX X=1
f3=In3= 1.098612289
Cuando n=0
fx=Inx=In0=0=fx1+1=0
Et=1.098612289.01.098612289x100=100%
Cuando n=1
f'x=1x=11=1
fxi+1=0+1h=0+12=2
Et=1.098612289-21.098612289x100=-82.04%...