Metodos De Optimizacion

Definiciones

Si fx0≥fx para todo x y x0 ∈ a,b, diremos que f alcanza un máximo local o un máximo relativo.
Si fx0≤fx para todo x y x0 ∈ a,b, diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo.
Si fx0>fx para todo x y x0 ∈ a,b, diremos que f alcanza un máximo local estricto o un máximo relativo estricto.
Si fx0<fx para todo x y x0 ∈ a,b, diremos que f alcanza un mínimo localestricto o un mínimo relativo estricto.
A un máximo local y a un mínimo local se les llaman valores extremos.
Si f es continua en un intervalo que contenga a x0 y si en un intervalo de la forma a,xC, f' tiene un cierto signo y en xC,b el otro, entonces f alcanza un valor extremo en xC y si f es derivable en ese punto entonces f´ xC=0.
Si f´ es positiva en a,xC y negativa en xC,b, falcanza un máximo local estricto en xC, ya que la función pasa de ser creciente a decreciente.
Si f´ es negativa en a,xC y positiva en xC,b, f alcanza un mínimo local estricto en xC, ya que la función pasa de ser decreciente a creciente.
Si f´ no cambia de signo, entonces la función no tiene valor extremo.
Un número xc que pertenece al dominio de f(x) es número crítico si se cumple que:
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Alvalor f(xc) le llamamos valor extremo o valor crítico.
Al punto P(xc , f(xc)) le llamamos punto crítico o punto extremo
Una función f(x) tiene un máximo local estricto en xc si para un ε > 0 suficientemente pequeño y para todo x ε (xc - ε, x + ε) se cumple que:
f(xc) > f(x)
Una función f(x) tiene un mínimo local estricto en xc si para un ε > 0 suficientemente pequeño y para todo xε (xc - ε, x + ε) se cumple que:
f(xc) < f(x)

Una función f(x) tiene un máximo absoluto o máximo global en xc si se cumple que:

f(xc) > f(x) para todo x ε Domino de f(x)

Una función f(x) tiene un mínimo absoluto o mínimo global en xc si se cumple que:

f(xc) < f(x) para todo x ε Domino de f(x)

Regla 1.- Monotonía
Sea f(x) es una función diferenciable en el intervalo(a, b).


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Regla 2. Extremos relativos.
Si f(x) tiene un número extremo cuando x = xc si y solo sí, se cumple que:
f ´ (xc) = 0 o bien f ´ (xc) no está definida
Los números xc son candidatos a extremos relativos


Regla 3.-
Supongamos que f(x) es continua en (a, b) y que xc ε (a, b) y xc es un número críticoy que f es derivable en (a, b) excepto posiblemente en xc. Entonces

a).- Si f ´ (x) cambia de positivo a negativo cuando x crece al pasar por xc, entonces f(x) tiene un máximo relativo en x = xc

b).- Si f ´(x) cambia de negativo a positivo cuando x crece al pasar por xc, entonces f(x) tiene un mínimo relativo en x = xc

Regla 4.- Concavidad
Si f ´´(x) < 0 en el intervalo [a, b]entonces la curva será cóncava hacia abajo
Si f ´´(x) > 0 en el intervalo [a, b] entonces la curva será cóncava hacia arriba
Si f ´´(x) = 0 en el intervalo [a, b] entonces no puede obtenerse conclusión alguna sobre la concavidad de la curva

Puntos de Inflexión
1.- Determina todos los xi tales que f ´´(xi) = 0
2.- Si f ´´(x) cambia de signo al pasar por x = xi entonces xi es unpunto de inflexión y se requiere que f(x) sea continua en xi

Método de la primera derivada para determinar extremos relativos

PASO 1.- Determinar f ´(x)
PASO 2.- Determinar los números críticos y los puntos de discontinuidad.
Esto significa encontrar los valores xc estén en el dominio de f(x) tales que f ´(xc) = 0
PASO 3.- En los intervalos determinados por los números del paso 2,determinar si f es creciente o decreciente.
PASO 4.- Para cada número crítico xc en donde f es continua, determinar si f ´(x) cambia de signo, cuando x crece al pasar por xc.
Habrá un máximo relativo en x = xc sí f ´(x) cambia de + a –

Habrá un mínimo relativo en x = xc sí f ´(x) cambia de - a +

Si f ´(x) no cambia de signo no habrá extremo relativo.



Método de la segunda...