METODOS DE SOLUCIION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

as
Ma
tem

atic

CAP´ITULO 2

nsti

VARIABLES SEPARABLES
dy
g(x)
=
es separable
dx
h(y)

a, I

2.1.

tuto

de

´
´
METODOS
DE SOLUCION

qui

Definici´
on 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:

An
tio

o de variables separables.

La anterior ecuaci´on se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-

de

do:

g(x) dx + C,

da d

h(y) dy =

ersi

obteni´endose as´ı una familia uniparam´etricade soluciones.

Un
iv

Nota: la constante o par´ametro C, a veces es conveniente escribirla de
otra manera, por ejemplo, m´
ultiplos de constantes o logaritmos de constantes o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes
reunirlas en una sola constante.
Ejemplo 1.
Soluci´on:

dy
dx

= e3x+2y

dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7

´
´
CAP´ITULO 2. METODOS
DE SOLUCION

8

separandovariables
dy
= e3x dx
e2y

as

e integrando

atic

1
e3x
− e−2y + C =
2
3

Ma
tem

la soluci´on general es

dy
dx

1

= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1

tuto

Ejemplo 2.

de

e3x e−2y
+
=C
3
2

nsti

Soluci´on: separando variables

=

1 du
√
2 u

haciendo

ersi

da d

de

obtenemos

qui

1 d(1 + x2 )
√
2 1 + x2

An
tio

=

a, I

2x
dx
y −3 dy = √
2 1 + x2

1

Un
iv

y −2
1 (1 + x2 ) 2
+C
eintegrando
=
1
−2
2
2
soluci´on general
−

√
1
1 + x2 + C.
=
2y 2

Cuando x = 0, y = 1
−

√
1
= 1 + 02 + C
2×1

u = 1 + x2
du = 2xdx

2.1. VARIABLES SEPARABLES

9

luego C = −3
2
La soluci´on particular es
3
−1 √
2−
1
+
x
=
2y 2
2

as

Resolver los siguientes ejercicios por el m´etodo de separaci´on de variables:

Ma
tem

atic

Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2))

π
2

dy
xy + 3x − y − 3
=
dx
xy − 2x + 4y − 8
y+3 5
) = Cey−x )
( x+4

An
tio

qui

Ejercicio 5.
(Rta.

nsti

=e

a, I

Ejercicio 4. y ′ sen x = y ln y, si y
(Rta. ln y = csc x − cot x)

tuto

Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y)

de

Ejercicio 2. y ′ + y 2 sen x = 0
(Rta. y = − cos 1x+c )

de

Ejercicio 6. x2 y ′ = y − xy, si y(−1) = −1
(Rta. ln |y| =− x1 − ln |x| − 1)

Un
iv

ersi

da d

dy
− y 2 = −9 y luego
Ejercicio 7. Hallar la soluci´on general de la E.D. dx
hallar en cada caso una soluci´on particular que pase por:
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 31 , 1
y−3
(Rta. a) y−3
= −e6x , b) y = 3, c) y+3
= − 21 e−2 e6x )
y+3

Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´on
de protozoarios a una raz´on constante µ. Se ha observadoque las bacterias
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es
la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
funci´on de c(0); ¿cu´al es la concentraci´on de equilibrio de las bacterias, es
decir, cuando
c′ (t) = 0√?
√ √
√
√
µ+ kc(t)
µ+ kc(0)
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e2 kµt ; concentraci´on de equilibrio c = µk )

´
´
CAP´ITULO2. METODOS
DE SOLUCION

10

dy
dy
+ 2y = xy dx
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4ae e a )

´
ECUACIONES HOMOGENEAS

as

2.2.

en

Ma
tem

atic

Definici´
on 2.2. f (x, y) es homog´enea de grado n si existe un real n tal que
para todo t: f (tx, ty) = tn f (x, y).

de

Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´enea de grado dos.

tutoDefinici´
on 2.3. Si una ecuaci´on en la forma diferencial :

nsti

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

qui

a, I

tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), entonces decimos que es de coeficientes homog´eneos o que es una E.D. homog´enea.

An
tio

Siempre que se tenga una E.D. homog´enea podr´a ser reducida por medio
de una sustituci´on adecuada a una ecuaci´on en variablesseparables.

de

M´
etodo de soluci´
on: dada la ecuaci´on

ersi

da d

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Un
iv

donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado; mediante la sustituci´on y = ux o´ x = yv (donde u o´ v son nuevas variables
dependientes), puede transformarse en una ecuaci´on en variables separables.
Nota: si la estructura algebraica de N es m´as sencilla que la de...