metodos numericos 5 scilab

Métodos Numéricos

Actividad 5
Agosto de 2014
Nombre:

Ecuaciones no lineales de una variable
Índice
Velocidad de Convergencia . . . . . . . . .
Aceleración de Convergencia . . . . .
El método de Aitken . . . . . . . . . . . . .
Método de aceleración de Steffensen
Método de Müller . . . . . . . . . . . . . . .
Comparación entre los métodos . . .

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. 1
. 3
. 4
. 6
. 8
. 10

Velocidad de Convergencia
Definición 1 (Orden de convergencia.) Supongamos que {p n }∞ converge a p y sea E n = p − p n para cada n ≥ 0. Si existen
n=0
dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que
l´m
ı

n→∞

|p − p n+1 |
|p − p n

|R

= l´m
ı

n→∞

|E n+1 |
|E n |R

=A

entonces se dice que lasucesión converge a p con orden de convergencia R y el número A se llama constante asintótica del
error.
Teorema 1 (Orden de convergencia del método de Newton-Raphson) Supongamos que el método de Newton-Raphson genera una sucesión {p n }∞ que converge a un cero p de la función f (x). Si p es una raíz simple, entonces la convergencia es
n=0
cuadrática:
| f (p)|
|E n+1 | ≈
|E n |2 para nsuficientemente grande.
2| f (p)|
Si p es una raíz múltiple de orden M > 1, entonces la convergencia es lineal:
|E n+1 | ≈

M −1
|E n | para n suficientemente grande.
M

Ejemplo 1 (Convergencia cuadrática cuando la raíz es simple) Partiendo de p 0 = −2.4 y usando el método iterativo de NewtonRaphson, hasta la iteración 4, aproxime la raíz simple p = −2 del polinomio f (x) = x 3 − 3x + 2.
UsandoScilab obtenemos la siguiente tabla

1

MÉTODOS NUMÉRICOS

• ACTIVIDAD 5 •

k

pk

pk+1 − pk

E k = p − pk

1
2
3
4

-2.0762
-2.0036
-2.0000
-2.0000

0.3238
0.0726
0.0036
0.0000

0.0762
0.0036
0.0000
0.0000

Note que |p − p k+1 | ≈ A|p − p k |2 ó

|Ek+1 |
|Ek |2
0.476190
0.619469
0.664278
0.666661

|E k+1 |
≈ A, donde A ≈ 2/3.
|E k |2

Ejemplo 2(Convergencia lineal cuando la raíz es doble) Partiendo de p 0 = −2.4 y usando el método iterativo de NewtonRaphson aproxime la raíz doble p = 1 del polinomio f (x) = x 3 − 3x + 2.
Usando Scilab obtenemos la siguiente tabla
k

pk

pk+1 − pk

E k = p − pk

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

1.1030
1.0524
1.0264
1.0133
1.0066
1.0033
1.0017
1.0008
1.0004
1.00021.0001
1.0001
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000

0.0970
0.0507
0.0260
0.0131
0.0066
0.0033
0.0017
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000

0.1030
0.0524
0.0264
0.0133
0.0066
0.0033
0.0017
0.0008
0.0004
0.0002
0.0001
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000

Note que |p − p k+1 | ≈ A|p − p k | ó

|Ek+1 |
|Ek |
0.515152
0.508165
0.5042520.502171
0.501098
0.500552
0.500277
0.500139
0.500069
0.500035
0.500017
0.500009
0.500004
0.500002
0.500001
0.500001

|E k+1 |
≈ A, donde A ≈ 1/2.
|E k |

1. Método de la secante en una raíz simple. Partiendo de p 0 = −2.6 y p 1 = −2.4, use el método de la secante, hasta la
iteración 7, para aproximar la raíz simple p = −2 del polinomio f (x) = x 3 − 3x + 2. Ejecute una...