Metodos numericos

Métodos Numéricos-Universidad de Antioquia

1) a. y’=yx2-1.2y intervalo [0,2], y con y(0) = 1

Solución: Al dividir por y tenemos: y-1dy/dx =x2-1.2 , ahora por variables separables se puede expresar de la siguiente manera: y-1 dy =( x2-1.2 )dx, integrando a ambos lados tenemos: ln y= (x3/3 ) -1.2x+C, para despejar y aplicó Euler a cada lado de la ecuación teniendo comosolución: y= e ((x^3)/3)-1.2x+C .

Al reemplazar en la solución x=0, y=1 (valores iníciales dados), encontraremos el valor de C y hallaremos una solución particular. 1=e(0/3)-1.2(0)+C , entonces, 1=eC , luego, ln 1=C, entonces, C=0

La ecuación particular y con la que trabajaremos es: y= e ((x^3)/3)-1.2x

b. El método de Euler toma la pendiente al inicio del intervalo como unaaproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo, tal procedimiento se llevó a cabo mediante la utilización de la siguiente ecuación: yi+1=yi+f(xi,yi)h donde f(xi,yi) es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi , h es el tamaño de paso respectivo y yi es un valor anterior a un nuevo valor yi+1.Como caso particular tenemos los siguientes valores: h=0.5, f(xi,yi)= yx2-1.2y , intervalo[0,2], y con condiciones iniciales y(0) = 1

Se utiliza la ecuación yi+1=yi+f(xi,yi)h para implementar el método de Euler :

y(0.5)=y(0)+f(0,1)0.5 , donde y(0)=1 y la pendiente estimada en x=0 es: f(0,1)=1(0)2-1.2(1)=-1.2; por lo tanto, y(0.5)=1-1.2(0.5)=0.4

La solución verdadera en x=0.5 la hallamos con la ecuación resultante del numeral a y es: y=e(((0.5)^3)/3)-1.2(0.5) , entonces,yv=0.572161872

El cálculo se repite y al llegar a x=2 tenemos como resultado ye= 0,288225 y yv= 1,30560517. El mismo procedimiento se realiza para los diferentes tamaños de paso h=0.1, h=0.25 lanzando como resultado los siguientes valores: para h=0.1 y con el mismo intervalo [0,2], se obtuvo ye= 0,94814994 y yv= 1,30560517; y para h=0.25 e igualmente con el mismo intervalo [0,2], se obtuvo ye=0,6155722 y yv= 1,30560517

El método de Euler da una aproximación a la solución verdadera.

c. Grafica de h=0.1

Con un tamaño de paso de 0.1 vemos en el grafico que la aproximación a la solución verdadera posee un buen ajuste en la tendencia de los datos, aunque el número de operaciones a realizar es mucho mayor, concretamente 21 iteraciones

Grafica de h=0.25

Con un tamaño de paso de 0.25vemos en el grafico una buena aproximación a la solución verdadera, sin embargo, no se obtuvo un mejor ajuste que con tamaño de paso de 0.1, el número de operaciones a realizar fue menor, se hicieron 9 iteraciones.

Grafica de h=0.5

Con un tamaño de paso de 0.5 vemos en el grafico que la solución Euler capta la tendencia general de la solución verdadera pero el error resulta considerable.En conclusión cuanto más pequeño es el tamaño de paso mayor es la exactitud de la aproximación a la solución verdadera teniendo en cuenta que si reducimos el tamaño de paso el número de pasos aumenta proporcionalmente.

d. Al evaluar la bondad de cada ajuste mediante el criterio de error cuadrático medio obtenemos para h=0.1 un Ep=0,07308775; para h=0.25 un Ep= 0,17792779; y para h=0.5 un Ep=0,34400977. Los resultados dados nos confirman lo dicho anteriormente a menor tamaño de paso menor error cuadrático medio.

e.

Grafico Ep vs tamaño de paso

El grafico nos ayuda a ver más claramente que entre mayor sea el tamaño de paso el error cuadrático medio resulta más considerable.

2) a. Método grafico

Al graficar la función sen(x)+cos (1+x2)-1, obtuvimos una aproximacióninicial de la raíz de la ecuación, el primer punto donde la función cruza el eje x representa la menor raíz positiva. Se observa que la raíz para este caso es más o menos 1.94

b. Método de Newton y Rhapson: tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de newton Rhapson xi+1=xi - f(xi)/ f´(xi) sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para las raíces es xi, entonces se...