metodos numericos

Raúl Águila Fumey
INTEGRACIÓN GAUSSIANA
En ocasiones el hecho de que los nodos, como en el caso de las formulas de
Newton Cotes sean equiespaciados producen algunos problemas en funciones
de comportamiento irregular. Una manera diferente de abordar el problema de
integración son las formulas de cuadraturas Gaussianas. Estas aproximan
integrales del tipo:
b

I ( f ) = ∫ w( x) f ( x)dx
aDonde w : [a, b] → IR , es una función peso que cumple con:
b

i) ∫a w( x) x n dx < ∞
ii) ∫a w( x) g ( x)dx = 0 , con g continua y no negativa en [a, b] , entonces g ≡ 0 en
b

[a, b]

El método busca una formula de aproximación I n ( f ) para I ( f ) , de la forma
n

I n ( f ) = ∑ a j f (x j )
j =1

Que sea exacta en el caso de que f ∈ Pm (conjunto de polinomios de grado m ),
elmayor m posible.
Si por ejemplo

{a }

n

j

j =1

1

∫

−1

n

f ( x )dx ≈ ∑ a j f ( x j ) , los nodos
j =1

{x }

n

j

j =1

y los pesos

( 2n incógnitas ) se seleccionan de modo que el error:
n

E ( f ) = ∫ f ( x)dx − ∑ a j f ( x j )
1

−1

j =1

sea cero en el caso que f sea un polinomio de grado m .
Por ejemplo para n = 1 , se tienen dos incógnitasx1 , a1 , para determinarlas se
considera la base {1, x} para los polinomios de grado uno, así se tiene el
sistema:
1

E1 (1) = ∫ 1dx − a1 = 0
−1

⇔ a1 = 2

1

E1 ( x) = ∫ xdx − a1 x1 = 0
−1

⇔ a1 x1 = 0

De donde obtiene a1 = 2 y x1 = 0 , con lo cual
1

∫

−1

f ( x)dx ≈ 2 f (0)

Corresponde a la formula del punto medio. Esta relación es exacta hasta
polinomios degrado uno
Para n = 2 , se tienen las incógnitas x1 , x2 y a1 , a 2 , se considera la base
{1, x, x 2 , x 3 }, que corresponde a la de los polinomios de grado tres, obtenemos
con ellos el sistema:
1

E (1) = ∫ 1dx − a1
−1
1

E ( x) = ∫ xdx
−1

−

a2 = 0

− a1 x1 − a 2 x 2 = 0

1

2
E ( x 2 ) = ∫ x 2 dx − a1 x12 − a 2 x 2 = 0

−1
1

3
E ( x 3 ) = ∫ x 3 dx − a1 x13 − a 2 x 2= 0
−1

Integrando se tiene el sistema:
a1 +

a2 = 2

a1 x1 + a 2 x2 = 0
3
2 ⇒ a1 = a 2 = 1 y x 2 = − x1 =
2
2
a1 x1 + a 2 x 2 =
3
3
3
a1 x13 + a 2 x 2 = 0

Luego

 3
3
 +1f 

f ( x)dx ≈ 1 f  −
∫−1
 3 
 3 




1

Esta relación es exacta hasta polinomios de grado tres.
Para evitar tener que resolver sistemas no lineales se usan polinomiosortogonales, así entonces se tiene el siguiente teorema
TEOREMA

Sean {p n ( x) / n ∈ IN } polinomios ortogonales sobre [a, b] con respecto a
la función peso w(x) . Entonces, para cada n ≥ 1 existe una única formula de
integración I n ( f ) de la forma
n

I n ( f ) = ∑ w j f (x j )
j =1

Que es exacta para cada f ∈ Ρ2 n −1 cuyos nodos {x j } son los ceros de p n (x) y
cuyos pesos {w j }están dados por
wj =

− an pn , pn
p' n ( x j ) p n +1 ( x j )

, j = 1,2,....n , p n ( x) = bn x n + ....... , a n =

bn +1
,
bn

Además
n

b

E n ( f ) = ∫ w( x ) f ( x )dx − ∑ w j f ( x j ) =
a

j =1

pn , pn
2

bn (2n)!

f

(2n)

(ξ ) , a < ξ < b

Resumen de cuadraturas gaussianas.
Gauss-Legendre.
En el intervalo [− 1 , 1 ]
Función peso
w(x)=1
n
2
3

xj
±±

wj

0.577350269189
0.774596669241

0
± 0.3399810435
± 0.8611363115

4

Gauss - Tchebyshev
1
w( x) =
1− x2

Los nodos x j

intervalo

( -1 , 1 )

1
0.5555556
0.8888889
0.652145154865
0.347854845131

peso

son las raíces del polinomio de Tchebyshev de grado n

π 

x j = cos  ( 2 j − 1 )  .
2n 

1

∫

−1

1
1− x2

f ( x)dx ≈

En este casoπ
n

n

∑ f (x
j =1

j

)

n

xj

wj

2

± 0.7071067812

-

3

± 0.866025

-

0
4

Gauss - Laguerre.

± 0.92388
± 0.382683

-

Intervalo ( 0 , ∞ ) peso

w( x) = e− x

Los nodos x j son los ceros del polinomio de Laguerre de grado n
n

xj

wj

2

0.5857864376
3.4142135623

0.8535533905
0.1464466094

3

0.4157745567
2.2942803602...