Metodos numericos

ECUACIONES NO LINEALES
F. VADILLO

Estas notas explican algunos métodos numéricamente para resolver ecuaciones no lineales de la forma
Resumen.

f (x) = 0,

donde f es una función real de variable real. Dichas soluciones son los ceros de función f . El orden de exposición es el siguiente: se comienza por el método más "ingenuo " que es el método de bisección para después comentar elmétodo de la secante y las iteraciones de punto jo describiendo el algoritmo zeroin. Finalmente se construye el método de Newton y su extensión al problema de los sistemas de ecuaciones no lineales.
Índice

1. Introducción 2. El método de bisección 3. El método de la secante 4. Iteraciones de punto jo 5. El algoritmo zeroin 6. El método de Newton 7. El método de Newton para sistemas no linealesReferencias

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1.

Introducción

Se consideran ecuaciones no lineales de la forma (1.1)

f (x) = 0,

donde f es una función real de variable real. Un caso sencillo es cuando la función f es un polinomio. Los polinomios de primero y segundo grado ya fueron tratados con éxito en tiempos muy remotos, los babilonios eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticas. La historiadel descubrimiento de la solución algebraica de la cúbica enfrentó a dos grandes rivales italianos: Cardano y Tartaglia hacia 1540, y Ferrari, alumno y secretario de Cardano resolvió en 1545 la ecuación de cuarto grado. Posteriormente fueron muchos los matemáticos eminentes que trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro, aunque en vano puesto que el matemático
Received by theeditors 17 de enero de 2006.
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F. VADILLO

noruego Abel en 1893 probó que es imposible resolver por radicales la ecuación general de grado mayor que cuatro. En consecuencia, para calcular las raíces de polinomios de grado mayor que cuatro es imprescindible usar técnicas numéricas.

2.

El método de bisección

El método de bisección es el más sencillo posible. Dada una función freal y continua en el intervalo I0 = [a, b] con valores de signos contrario en a y b, esto es f (a)f (b) < 0, el teorema de Bolzano asegura que f se anula en algún punto interior de I0 . El método de bisección calcula el punto medio del intervalo c = a+b y f (c). Si 2 f (c) = 0, c es la raíz y el problema está resuelto. En el caso contrario, si f (c) = 0 tiene el mismo signo que f (a) o f (b), esdecir, en uno de los dos intervalos [a, c] o [c, b] la función toma valores de signo contrario en los extremos y por lo tanto contiene una raíz. Llamando ahora I1 a dicho intervalo estamos en la situación anterior pero con I1 en lugar de I0 , la ventaja es que la longitud del intervalo I1 es la mitad de la I0 . En el siguiente paso se repite el procedimiento, se evalúa f en el punto intermedio de I1y se queda con la mitad I2 donde haya un cambio de signo en los valores de los extremos. Continuando este proceso se construye una sucesión de intervalos encajados In de longitud b−a que contienen una raíz de f . 2n

Ejemplo 2.1. Para conocer en qué punto de la trayectoria se encuentra un satélite
(2.1)

que gira en una órbita elíptica en torno a la Tierra en un instante t hay que resolverla ecuación de Kepler

x − e sin x = z,

donde e es la excentricidad y z es un número que se calcula a partir de t. En el caso e = 0,5 y z = 0,7, f (0) = −0,7 < 0 y f (2) = 0,8 > 0 por lo que el proceso iterativo se puede comenzar en el intervalo [0, 2]. Las cinco primeras bisecciones están recogidas en la siguiente tabla n 0 1 2 3 4 5 Intervalo [0,2] [1,2] [1, 1.5] [1,1.25] [1.125., 1.25][1.125, 1.875] Punto medio 1 1.5 1.25 1.125 1.1875 1.1563 Valor de f en el punto medio -0.121 0.301 0.075 -0.026 0.023 -0.001

El método de bisección es muy robusto porque se puede aplicar a cualquier función continua y no presenta posibilidades de error, aunque es un método lento: en cada paso dividimos el intervalo por la mitad. Además no aprovecha otras características de la función, por...