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Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales
3.1 Introducción.
3.2 Método de matriz inversa.
3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss−Jordan.
3.4 Regla de Cramer.
3.5 Sistemas lineales homogéneos.3.6 Método iterativo de Jacobi.
3.7 Método iterativo de Gauss−Seidel.
• Método de la matriz inversa
Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma:
A−1 = 1 a22 −a12 a11−a12
det A −a21 a11 −a21 a22
Ejemplos:
A = 12 4 (12)(1) − (3)(4) = 12−12 =0
3 1 No tiene Inversa
111
A=414
225
Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala lamatriz inicial a una matriz
identidad.
1 1 1 1 0 0 (−4) (−2)
4 −4 1 −4 4−4 0 −4 1 0
2 −2 2 −2 5 −2 0 −2 0 1
111100
0 −3 /−3 0/−3 −4/−3 1/−3 0/−3 / (−3)
0 0 3 −2 0 1
1

1 1−1 1 1−4/3 0+1/3 00 1 0 4/3 −1/3 0 (−1)
0 0 3 −2 0 1 / 3
1 0 1 −1/3+2/3 1/3 0−1/3
0 1 0 4/3 −1/3 0
0 0 1 −2/3 0 1/3 (−1)
1 0 1 1/3 1/3 −1/3
0 1 0 4/3 −1/3 0
0 0 1 −4/3 −1/3 1/3
A−1 = 1/3 1/3 −1/3 X = b / A 94/3 −1/3 0 b = 27
4/3 −1/3 1/3 X = A−1 b 30
1/3 1/3 −1/3 9 9/3 + 27/3 − 30/30
4/3 −1/3 0 27 = 36/3 − 27/3 + 0
4/3 −1/3 1/3 30 − 18/3 + 0 + 30/3
X1 2
X2 = 3
X3 4
Comprobación:
Sustitución delos valores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3.
Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9
1(2) + 1(3) + 1(4) = 9
2+3+4=9
9=9
Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27
4(2) +1(3) + 4(4) = 27

2

8 + 3 + 16 =27
27 =27
Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30
2(2) +2(3 ) +5(4) = 30
4 + 6 + 20 = 30
30 = 30
3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan.
Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se debenconvertir en ceros, mientras que el resultado
del termino común,se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que
permite encontrar el valor de las demás.Ejemplo:
2X1 + 4X2 + 6X3 = 18
4X1 + 5X2 + 6X3 = 24
3X1 + 1X2 − 2X3 = 4
2 4 6 18 /2
4 5 6 24
3 1 −2 4
1 2 3 9 (−4) (−3)
4−4 5−8 6−12 24−36
3−3 1−6 −2−9 4−27
1239
0 −3 −6 −12 /(−3)
0 −5...