Mgas

INTRODUCCION

INTRODUCCION
TRANSFORMACIONES
GAUSSIANAS.
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA CON
SUST. HACIA
ATRÁS.
TÉCNICAS DE
PIVOTEO.
FACTORIZACIONES
MATRICIALES.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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TRANSFORMACIONES
GAUSSIANAS.
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA CON
SUST. HACIA
ATRÁS.
TÉCNICAS DE
PIVOTEO.

En ingeniería, se enfrentan situaciones enlas que la
distribución correcta de recursos es un problema crítico. Por
ejemplo: Un ing. industrial supervisa la producción de cuatro
tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursoshoras-Hombre, metales, plásticos y componentes electrónicosen la producción.

FACTORIZACIONES
MATRICIALES.

comp.
1
2
3
4

hs/h metales plásticos comp.
3
20
10
10
4
25
15
8
7
40
2010
20
50
22
15

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ELIMINACIÓN
GAUSSIANA CON
SUST. HACIA
ATRÁS.
TÉCNICAS DE
PIVOTEO.
FACTORIZACIONES
MATRICIALES.

Si se dispone de 504 horas-hombre, 1970 kg. de metal, 970 kg.
de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuántas
computadoras de cada tipo se pueden construir por día? Sean
x1 , x2 , x3 y x4 , la cantidadtotal producida diariamente de cada
clase de computadora. Se sabe que la cant. total de
horas-hombre disponibles diariamente es de 504. Por lo tanto,
la suma de las distribuciones de horas-hombre en la producción
de cada una de las computadoras debe ser menor o igual que
504. Usando los datos del cuadro mostrado:
3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 ≤ 504 (1)
y de la misma manera para metales, plásticosy componentes:
20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 ≤ 1970 (2)
10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 ≤ 970 (3)
10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 ≤ 601 (4)

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Cada ecuación se debe satisfacer de forma simultánea. Si los
recursos disponibles, representados por elvector de términos
independientes, se reducen todos a cero simultáneamente,
entonces se puede reemplazar el ≤ por el = y se tiene un
sistema de ecuaciones lineales de 4 × 4.
Aplicando un método adecuado pare resolver el sistema, se
obtiene que
x1 = 10, x2 = 12, x3 = 18, x4 = 15.
Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales.
Sup. que las ganancias correspondientes a cadacomp. son
p1 = 1000, p2 = 700, p3 = 1100 y p4 = 400 respectivamente,
la ganancia total es:
P = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + p4 x4 ,
o sea,
P = 1000(10) + 700(12) + 1100(18) + 400(15) = 44200.

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TRANSFORMACIONES GAUSSIANAS.

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ELIMINACIÓN
GAUSSIANA CON
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TÉCNICAS DE
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FACTORIZACIONES
MATRICIALES.

Pararesolver un sistema lineal, están permitidas tres
operaciones en las ecuaciones:
1. La ecuación i se puede multiplicar por una costante λ = 0 y
se puede usar la ecuación resultante en lugar de la ecuación i
(λEi )− > (Ei ).
2. La ecuación j se puede multiplicar por una cte. λ, sumarla a
la ecuación i y usar la ecuación resultante en lugar de la
ecuación i (Ei + λEj )− > (Ei ).
3. Se puedenintercambiar las ecuaciones i y j (Ei ) < − > (Ej ).
Mediante una secuencia de las operaciones anteriores se puede
transformar un sistema lineal a otro más fácil de resolver, y con
el mismo conjunto de soluciones.

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ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON SUST.
HACIA ATRÁS.

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GAUSSIANAS.
ELIMINACIÓN
GAUSSIANA CON
SUST. HACIA
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FACTORIZACIONES
MATRICIALES.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 13
2x1 + 0x2 + 4x3 + 3x4 = 28
4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 20
−3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 6.
La matriz ampliada es:


1
2

4
−3

2
0
2
1

1
4
2
3


4 13
3 28 

1 20 
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