Mgobe Bugle

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones

W. Poveda 1

Ecuaciones

Objetivos 1. Resolver en R ecuaciones lineales, cuadráticas, de grado mayor o igual que 2, con valor absoluto, con radicales, fraccionarias y polinomiales (grado mayor que 2) que admiten factorización por división sintética o fórmula general. 2. Resolver en R inecuaciones lineales, cuadráticas (de grado mayor o igual que 2),con valor absoluto fraccionarias y polinomiales (grado mayor que 2) que admiten factorización por división sintética o fórmula general. Temas 1. Ecuaciones lineales. 2. Ecuaciones cuadráticas (de grado mayor o igual que 2). 3. Ecuaciones polinomiales (de grado mayor que 2). 4. Ecuaciones fraccionarias 5. Ecuaciones con radicales. 6. Ecuaciones con valor absoluto. 7. Inecuaciones lineales. 8.Inecuaciones cuadráticas (de grado mayor o igual que 2). 9. Inecuaciones polinomiales (de grado mayor que 2). 10. Inecuaciones fraccionarias. 11. Inecuaciones con valor absoluto.

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W. Poveda 2

De…nición 1 Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en una o más variables. En este curso se resuelven únicamente ecuaciones en una incógnita.La(s) solución(es) de una ecuación es el valor(es) real(es) que asume la variable tal que la proposición resultante es verdadera. Ejemplo 1 Hallar el conjunto solución de Solución 1 3 1 3 5x + 1 1 = 6 2 1 5x + 1 = 2 2 1 3 5x + 1 1 = : 6 2

1 5x + 1 = 6 6 1 = 5x + 1 x= S= 2 5

2 5 4x(3x + 2)( x + 6) = 0.

Ejemplo 2 Hallar el conjunto solución de Solución

Para solucionar ésta ecuación seusa la propiedad a b = 0 () a = 0 _ b = 0 =) 4x(3x + 2)( x + 6) = 0 () 4x = 0 _ 3x + 2 = 0 _ x + 6 = 0 () x=0_x= S= 0; 6; 2 3 2 _x=6 3

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones Ejemplo 3 Hallar el conjunto solución de x Solución x 3x 21x 1 x+1 = 3 2 21x + 1 x+1 = , 3 2

W. Poveda 3 21x 1 x+1 = 3 2

36x + 2 = 3x + 3 39x = 1 x= S= 1 39 1 39

Ejemplo 4 Hallar el conjunto solución de x2 Soluciónx2 2 = 0 () x2 = 2 () x2 = 2 () x = p p S= 2; 2 p

2=0

2 () x =

p

2_x=

p

2

Ejemplo 5 Hallar el conjunto solución de (3n + 1)2 = 25 Solución (3n + 1)2 = 25 9n2 + 6n + 1 = 25 9n2 + 6n 24 = 0 4 S= ; 2 3

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones Ejemplo 6 Hallar el conjunto solución de 2(5x Solución 2(5x 2(25x2 50x2 50x2 2)2 + 5 = 25 20x + 4) + 5 = 25 40x + 8 + 5 40x 12 = 0 25 = 02)2 + 5 = 25

W. Poveda 4

Por fórmula general tenemos que 1p 2 2 1p S= 10 + ; 10 5 5 5 5

Ejemplo 7 Hallar el conjunto solución de x2 + 3kx Solución x2 + 3kx 10k 2 = (x

10k 2 = 0

2k) (x + 5k) = 0 ) S = f 5k; 2kg 5x2 + 6 = 0

Ejemplo 8 Hallar el conjunto solución de x4 Solución Sea u = x2 =) x4 (u 2)(u 5x2 + 6 = u2 + 5u + 6 = (u 3) = 0 () u = 2 _ u = 3 2)(u 3)

2 Como p = xpse p utiene p = 2 _ x2 = 3 x2 S= 3; 3; 2; 2

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones p Ejemplo 9 Hallar el conjunto solución de x + 5 x + 6 = 0 Solución x p 5 x+6=x 1 5x 2 + 6

W. Poveda 5

1 Sea u = x 2 1 x 5x 2 + 6 = u2 (u 2)(u

5u + 6 = (u

2)(u

3)

3) = 0 () u = 2 _ u = 3

1 1 1 Como u = x 2 se tiene x 2 = 2 _ x 2 = 3 S = f9; 4g 1 x+1 2 3 = x+2 2x + 2 4 2x + 4

Ejemplo 10Resolver en R la ecuación Solución

Obtener las restricciones (valores en los cuales el denominador se hace cero) x + 1 6= 0 ^ x + 2 6= 0; por lo que x 6= 1 ^ x 6= 2

¿Por qué no se hace lo mismo con 2x + 2 y 2x + 4? 1 2 3 4 = se efectúan las operaciones x+1 x+2 2x + 2 2x + 4 , 2(x + 2) 2 2(x + 1) 3(x + 2) 4(x + 1) = 2(x + 1)(x + 2) 2(x + 1)(x + 2)

a c aplicando la propiedad = , a = c; b 6= 0 b b) 2x + 4 4x 4 = 3x + 6 4x 4 , 2x + x = 2 2 posible solución 2 es una de las restricciones, se tiene S = fg ,x= Como

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones Ejemplo 11 Determinar el conjunto solución de Solución p p x+3+ x , p 2=5 p x+3+ p

W. Poveda 6 x 2=5

p x+3=5 x 2 se despeja un radical p p 2 2 x+3 = 5 x 2 se eleva a potencia 2 , p , x + 3 = x 10 x 2 + 23 se realizan operaciones p ,...