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C U R S O : MATEMÁTICA

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD RAZONES Y PROPORCIONES Razón es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe

a ó a : b. b

Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
EJEMPLOS

1.

Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre largo y ancho es A) B) C) D) E) 3 : 1.000 3:1 3 :100 1:3 0,6 : 2

2.

Los puntos M, N, P y Q, son puntos medios del cuadrado ABCD (fig. 1). Entonces, ¿en qué razón están las áreas de las superficies sombreada y en blanco respectivamente? A) B) C) D) E)
8 3 5

A

Q

D

8 3

P

M Fig. 1

8 5 3 3 5

B

N

C

PROPORCIÓN

Proporción es la igualdad de dos razones. Se escribe

x y = a b

ó

x:a= y:b

Y se lee “xes a a

como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL

En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b)
OBSERVACIÓN:

(x · b = y · a)

Si x : a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de proporcionalidad, tal que :

x = ka
EJEMPLOS

,

y = kb

;

k ≠0

1.Si U : V = 3 : 10 y U : W = 1 : 2, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA, sabiendo que V = 30? A) B) C)
D) E)

U2 = 81 W – V = -12 W =9 2 2W = 36 U – V = 21

2.

El valor de x en la proporción
A) B) C) D) E) –1 –3 –5 3 11

x −2 x +1 = 3 4

es

2

SERIE DE RAZONES

Una serie de razones es la igualdad de más de dos razones. x y z = = también se escribe como x :y : z = a : b : c La serie de razones a b c

OBSERVACIONES :

1.

2.
EJEMPLOS

x+y+z x y z = = = =k a+b+c a b c x a y b = = , Si y entonces y b z c

x:y:z = a:b:c

1.

Si A) B) C) D) E)

a:b=3:5 3 3 5 3 6 : : : : : 9 : 10 5: 9 9: 3 9: 5 18 : 5

y

b : c = 5 : 9 , entonces a : c : b =

2.

Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3. Sisus edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es A) B) C) D) E) 15 años 9 años 6 años 3 años 1 año r 9 , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) = t 10

3.

r 3 = s 5 verdadera(s)? Si I) II) III) A) B) C) D) E)

y

r : t = 3 :10 3 t = s 2 2r : s : 3t = 6 : 5 : 10

Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III Ninguna de ellas 3

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dosvariables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.
x x1 x x = 2 = 3 = ........... = n = k y1 y2 y3 yn

Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1, las cantidades ubicadas en las filas A y B son directamente proporcionales
A B

3 9

4 12

5 15

x y Fig. 1

Por lo tanto se deduce que
OBSERVACIONES :

x 1 = y 3

1. Enuna proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta (disminuye) el mismo número de veces. 2. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el origen (fig. 2). Y

yn

Recta

y3 y2 y1
X

Fig. 2

x1
EJEMPLOS

x2

x3

xn

1.

A y B son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla
A B5 30 7 7 6 8 9 y y y y y 90 60 72 90 54

x 42

15 y

los valores de x e y son respectivamente

A) B) C) D) E)

4

2.

Si 2x varía directamente con 2x cuando y = 16? A) B) C) D) E) 1 12 1 3 32 24 12

y

e

y = 4 cuando x = 3, entonces ¿cuál es el valor de

3.

Según el gráfico de la figura 3, Entonces, ¿cuál es el valor de a? A)

x

e

y

son magnitudesdirectamente proporcionales.

B) C) D) E)

1 3 3 6 9 12

y

a 6
Fig. 3

2

3

x

5

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k

k : constante A y B son

Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1, las cantidades ubicadas en...