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Números compuestos
Una característica de los números compuestos es que cada uno puede escribirse como producto de dos naturales menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puedeexpresarse como 4×5; y también el 87 ya que se expresa como 3×29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. Cada número compuesto se puede expresar comomultiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo proceso se conoce como factorización.
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitosnúmeros compuestos.
La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 y n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 pordivisor. Y también 371 porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es utilizar entonces el pequeñoteorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida al matemático suizo Leonhard Euler.
Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse siexistirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124,125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar losnúmeros 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera.
Un teorema de Fermat afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces se da un caso deexclusion simple, que puede expresarse de forma única como suma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes al menos, entonces el...