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En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

(1)x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

donde \alpha es un número real o complejo. El caso más común es cuando \alpha es un entero n , aunque la soluciónpara \alpha no enteros es similar. El número \alpha se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Aplicaciones[editar]
La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmenteimportantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (\alpha = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de ordensemientero (\alpha = n + 1/2), por ejemplo:

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.
Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.
Conducción del calor en objetos cilíndricos.
Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).
Difusión en una red.
También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.Funciones de Bessel ordinarias[editar]
Las funciones de Bessel ordinarias de orden \alpha, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden \alpha son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro \alpha, que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segundaespecie.

Funciones de Bessel de primera especie: J_\alpha[editar]
Las funciones de Bessel de primera especie y orden \alpha son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x=0) para enteros no negativos \alpha y divergen en el límite x\rightarrow 0 para \alpha negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de J_{\alpha}(x) están definidos por suspropiedades abajo indicadas. Es posible definir la función J_{\alpha}(x) por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0:1

J_\alpha(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(k+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2k+\alpha} =\frac{x^\alpha}{2^\alpha\Gamma(\alpha+1)} \left[ 1-\frac{x^2}{2(2\alpha+2)}+\frac{x^4}{2\cdot4(2\alpha+2)(2\alpha+4)}-\ldots \right]

\Gamma(z) es lafunción Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos.

Estas funciones cumplen que:

Si \alpha\notin\mathbb{Z}, entonces J_\alpha(x) y J_{-\alpha}(x) son linealmente independientes, y por tanto una solución general de la ecuación de Bessel puede expresarse como una combinación lineal de ellas.
Si \alpha = n\in\mathbb{Z}, entonces se cumple:2
J_{-n}(x) = (-1)^{n}J_{n}(x), \quad \forall n\in\mathbb{Z}

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie.

Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a 1/\sqrt{x} (como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estasfunciones más abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x.



Funciones de Bessel de primera especie, Jα(x), para órdenes enteros α=0,1,2.
Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:


J_0(x)= 1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2 4^2}-\frac{x^6}{2^2 4^2 6^2}\ldots
J_1(x)=...