Modelado De Sistemas

Modelado de Sistemas Mecatronicos

1 Objetivo
El objetivo de esta practica es recordar tipos de modelado para sistemas mecatronicos, los cuales pueden ser sistemas mecanicos, electricos, hidraulicos, termicos, o la interaccion de ellos. Dentro del modelado, se tienen herramientas matematicas que ayudan al estudio del comportamiento de ellos. Las ecuaciones diferenciales, las funciones detransferencia, la ecuacion de estado y las energias, permiten encontrar dichos modelos matematicos o conocidos en control como modelos de simulación. Dentro de la teoria que se usa, esta el modelado por Newton-Euler y Euler-Lagrange.

2 Marco Teorico
2.1 Modelado de Sistemas Dinamicos
El modelado de sistemas dinamicos, es la obtencion de un conjunto de ecuaciones matematicas que describen elcomportamiento de un sistema sico. El modelado de un sistema dinamico consta de tres fases:
ˆ A partir de la utilidad que vaya a tener el modelo, decidir que señales son

las de entrada, las respuestas o salida, que variables son internas, y cuales son los parametros (constantes) a tener en cuenta. y salida de cada elemento del conjunto.

ˆ Escribir las relaciones matematicas que relacionan lasvaribales de entrada ˆ Añadir las ecuaciones que ligan unos elementos con otros. Obtener un

modelo en espacio de estado o mediante funciones de transferencia del conjunto.

1

2.2 Metodo de Newton-Euler
Para la obtención de las ecuaciones dinámicas se empleará el método de NewtonEuler. Dicho método permite calcular las fuerza externas (actuadores, motores, pistones, etc) e internas(reacciones), mediante un diagrama de cuerpo libre mostrando todas fuerzas actuando en el sistema. Para un cuerpo en el espacio las Ecuaciones de Newton-Euler vectorial son:
→ − F = m ag − → − − − Mg = J → +→ × (J →) α ω ω

(1)

2.3 Metodo de Euler-Lagrange
Si consideramos un sistema de N partículas, mj , j=1,...N, entendemos que al tener cada una de ellas un vector de posición de 3 componentes,todo el sistema tendrá, en ausencia de restricciones o ligaduras, un total de 3N componentes independientes o dimensiones.
→ = →(x1 , y1 , z1 , ... , xN , yN , zN , t) −→ j = 1, 2, ... , N − rj − rj

Las ecuaciones de Euler-Lagrange se utilizan para describir cualquier sistema mecánico por medio de coordenadas generalizadas de posición. El lagrangiano se utiliza para los sistemas conservativos yes un caso particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Deniremos: j q : Coordenadas generalizadas de posición, puede ser una distancia, un ángulo, etc... Entonces, si T es la energía cinética total del sistema (la suma de las energías cinéticasde todas las partículas) y V es la energía potencial total del sistema, las ecuaciones deEuler- Lagrange para la j -ésima partícula son:
d dt ∂L ∂ q˙j− ∂L = Qi ∂qj

El lagrangiano de un sistema se dene como L = T − V , además, como en los sistemas mecánicos la energía potencial no depende de las velocidades sino ∂V únicamente de las posiciones, tenemos que ∂ q˙j = 0, entonces podemos escribir,
∂T ∂V ∂ (T − V ) ∂L ∂T = − = = ˙ ∂ q˙j ∂ q˙j ∂ q˙j ∂ q˙j ∂j

De lo anterior, vemos que las ecuaciones del sistema pueden escribirse en términos dellagrangiano de la forma,
d dt ∂L ∂ q˙j − ∂L = F ext + F no conservativas ∂qj

(2)

2

3 Diseño
3.1 Modelo I - Masas Unidas por Resortes

Figura 1. Modelo I.
3.1.1 Planteo de ecuaciones diferenciales

Ecuacion y funcion de transferencia para la masa 1.

Figura 2. Diagrama de curpo libre para la masa 1.
x1 = ¨ 1 (−k1 x1 + k2 (x2 − x1 ) + b(x2 − x1 )) ˙ ˙ m1
1 m1 b m1 s k1 +k2 m1(3) (4)

x1 (s) = 2 x2 (s)(k2 + bs) s +

+

Ecuacion y funcion de transferencia para la masa 2.

Figura 3. Diagrama de curpo libre para la masa 2.
x2 = ¨ 1 (f + k2 (x1 − x2 ) + b(x1 − x2 )) ˙ ˙ m2
1 m2 b m2 s k2 m2

(5) (6)

x2 (s) = 2 x1 (s)(k2 + bs) + f s +

+

3

3.1.2

Representacion del espacio estado

 ˙ x1  v1  ˙  x2 ˙ v2 ˙





0
−(k1 +k2 ) m1

1...