Modelamiento de Sistemas

UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA
SEGUNDO PARCIAL CONTROL DIGITAL
INGENIERIA MECATRONICA





RESUMEN: En este informe se analizara una planta de segundo orden, específicamente un sistema mecánico rotacional a este sistema se le ingresara un escalón unitario y se hará un control PID de dicha planta en un tiempo determinado, además de la discretizacion del PID por los métodos en Euleradelanto,Euler en atraso y Tustin, estas graficas serán visualizadas mediante Simulink y comparadas con Labview.

PALABRAS CLAVES: Sistema de segundo orden, discretizacion, PID,

1 INTRODUCCION
Cuando tenemos diferentes sistemas se hacen simulaciones de las respuestas de estos para PREDECIR situaciones. Es importante analizar que magnitudes intervienen en este para tener un correcto modelamiento matemáticodel sistema, se dice por ejemplo que un sistema de segundo orden es aquel que se puede modelar mediante una ecuación diferencial de segundo orden.



2 MODELAMIENTO DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN


Modelar el siguiente sistema mecánico rotacional:



Figura 1. Sistema



Los valores de la figura 1 son:








Dónde:








2.1 Ecuación en diferencia

Obtener la expresión:




Con las siguientesecuaciones podremos dejar en términos conocidos la sumatoria de fuerzas:




Según la Figura 2 se hacen la sumatoria de fuerzas:






Aplicamos transformada de Laplace:








Reemplazamos los valores de la ecuación:






2.2 Diagrama de bloques


Con ayuda de la herramienta Simulink de Matlab se hace el diagrama de bloques:


Figura 2. Diagrama de bloques

De la figura 3 se observala entrada Tm y la salida

2.2 RESPUESTA AL ESCALON
Al sistema se le aplica un escalón unitario para mirar su tiempo de estabilización:

Figura 3. Respuesta al escalon
Como vemos en Matlab el tiempo de estabilizacion de la planta es de Ts = 9.35 segundos como una maxima amplitud de 0.499.


Figura 4. Tiempo de estabilización del sistema


Figura 5. Respuesta Pico del sistema
El sistema serácontrolado para que el tiempo de estabilización deseado sea en 3 segundos, para esto se multiplica el tiempo por 60/180, además se establece un máximo sobre impulso del 30 % (Mp = 0.3), es decir, como el escalo es unitario el sistema deberá tener un amplitud máxima de 1.3.
Con estos datos es necesario hallar el zeta del sistema, para esto es necesario utilizar las siguientes formulas:




Este valorde zeta hará el que el sistema tenga un máximo sobre impulso de exactamente el 30 %, para garantizar que este no sobrepase se utilizara un zeta deseado de 0.8, para esto el zeta se multiplica por 8000/3579.


2.3 PID
Para implementar el PID se calculan los valores de Kp, Ki y Kd con las siguientes formulas:



Simulando nuestro PID en simulink con diagramas de bloques:

Figura 6. Diagrama debloques PID

Multiplicando la planta por el control PID:

Figura 7. PID - Planta
Como se observa en la siguiente imagen la planta se estabiliza poco antes de llegar a los 3 segundos, y tiene un máximo sobre impulso de aproximadamente 1.2, que se encuentra entre el estándar establecido previamente, además vemos que el sistema se estabiliza en 1, igual al escalón de la entrada.

Figura 8. Respuesta deplanta con PID

2.4 Discretizacion PID
Para discretizar el PID por los 3 métodos (Adelanto, Atraso y Tustin), es necesario tomar un tiempo de muestreo, este es importante ya que si es muy bajo no se parecerá a la señal PID previamente visto en nuestro sistema y si es muy alta se saturara el sistema, el sistema será muestreado a 90 veces el periodo de muestreo, para ellos es necesario usar lassiguientes formulas:



Hallaremos las constantes para aplicar nuestro PID en discreto:




Los valores de q0, q1 y q2 serán reemplazados según su método en la ecuación general:


A todas las simulaciones se deben agregar un saturador, retenedor de orden 0 y un quantizer.


Figura 9. PID discretizado – Planta

2.4.1 DISCRETIZACION TUSTIN:




2.4.2 DISCRETIZACION ATRASO:




2.4.3 DISCRETIZACION...