Modelo atomico de bohr
Páginas: 8 (1916 palabras)
Publicado: 17 de septiembre de 2012
EL MODELO ATOMICO DE BOHR
En 1913, Niels Bohr ide´ un modelo at´mico que explica perfectamente los espectros o o determinados experimentalmente para ´tomos hidrogenoides. Estos son sistemas fora mados solamente por dos cargas, una positiva y una negativa, y ejemplos de ellos son el ´tomo de hidr´geno, H, los iones He+ , Li+2 , Be+3 , . . . . a o El modelo de Bohr se puede describir por medio decuatro postulados: Postulado I Un ´tomo hidrogenoide consta de un n´cleo central con carga +Ze (d´nde Z es a u o el n´mero at´mico) y de un electr´n de carga −e girando alrededor del n´cleo en u o o u una ´rbita circular de radio r con velocidad v constante. o Un electr´n que gira alrededor de un n´cleo en una ´rbita de radio r y con o u o velocidad v se encuentra sujeto a la fuerza de atracci´nelectrost´tica que el n´cleo o a u de carga +Ze ejerce sobre ´l: e Fe = y a la fuerza centr´ ıfuga: mv 2 r A fin de que la ´rbita sea estable estas fuerzas deben compensarse, y cumplirse que: o Fc = mv 2 Ze2 − 2 =0 (1) r r En la ecuaci´n anterior hay dos inc´gnitas, r y v, por lo que para conocerlas es o o necesario encontrar otra relaci´n entre ellas. Esta se obtiene del segundo postulado o deBohr, el cual impone una condici´n sobre el momento angular del electr´n. o o Postulado II El electr´n recorre una determinada ´rbita n con momento angular: o o L = mvr = n h 2π = n¯ h n = 1, 2, . . . (2) (Ze)(−e) Ze2 =− 2 r2 r
El segundo postulado implica que el momento angular del electr´n est´ cuantio a zado, es decir, que s´lo puede adquirir determinados valores caracterizados por el o n´merocu´ntico n. La ecuaci´n 2 se puede explicar utilizando una simple analog´ u a o ıa 1
entre el movimiento de la part´ ıcula y una onda estacionaria montada sobre la ´rbita, o como se explica a continuaci´n. o Para que se establezca una onda estacionaria sobre el per´ ımetro 2πr de la ´rbita o circular, ´sta debe ser tal que quepan un n´mero entero de longitudes de onda: e u 2πr = nλ n = 1, 2, .. . (3)
Si n no fuera un n´mero entero, las posiciones de los nodos cambiar´ en cada u ıan vuelta y la onda no ser´ estacionaria. Aplicando la relaci´n de de Broglie a la ec. 3 ıa o se tiene que: 2πr = n o sea: mvr = n¯ h que es justamente el segundo postulado. Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 1 y 2 se pueden obtener expresiones para las inc´gnitas rn y vn correspondientes alradio y a la velocidad del o electr´n cuando ocupa la ´rbita n: o o rn = y vn = n¯ h Ze2 = mrn n¯ h (5) n2 ¯ 2 h 2m Ze (4) h nh = p mv
Asimismo se puede determinar la energ´ total En del electr´n en la ´rbita n: ıa o o
En (total) = En (cin´tica) + En (potencial) e 1 Ze2 2 = mvn − 2 rn De la ec. 1:
2 mvn =
Ze2 rn
de modo que: 2
En = −
1 Ze2 2 rn
(6)
Se observa que la energ´total es la mitad de la energ´ potencial. Esta propiedad, ıa ıa llamada teorema del virial, es v´lida para todos los sistemas en los cuales el potencial a es una funci´n homog´nea de grado (-1) en las coordenadas. o e Substituyendo rn por su valor (ec. 4) se tiene, finalmente la expresi´n para la o energ´ ıa: En = − e4 m 2¯ 2 h Z2 n2 (7)
Es interesante notar que las energ´ En est´n cuantizadas.Adem´s, todas son ıas a a negativas y En tiende a cero cuando n tiende a infinito. Lo anterior es consecuencia de que el cero de energ´ potencial se ha escogido como el estado en que el ıa electr´n y el n´cleo se encuentran infinitamente separados, de manera que la energ´ o u ıa en cualquier estado ligado es menor que en el estado separado. Las energ´ en ıas orden creciente corresponden al ordencreciente del n´mero cu´ntico n; los En son u a los niveles de energ´ ıa.
0.1
UNIDADES ATOMICAS
Es conveniente agrupar las constantes fundamentales m, e y h en las ecuaciones ¯ ec. 4, 5 y 7 y definir nuevas unidades m´s adecuadas a los c´lculos at´micos. Para a a o el ´tomo de hidr´geno (Z = 1) en el estado fundamental (n=1), el electr´n ocupa la a o o o ´rbita m´s pr´xima al n´cleo. El...
En 1913, Niels Bohr ide´ un modelo at´mico que explica perfectamente los espectros o o determinados experimentalmente para ´tomos hidrogenoides. Estos son sistemas fora mados solamente por dos cargas, una positiva y una negativa, y ejemplos de ellos son el ´tomo de hidr´geno, H, los iones He+ , Li+2 , Be+3 , . . . . a o El modelo de Bohr se puede describir por medio decuatro postulados: Postulado I Un ´tomo hidrogenoide consta de un n´cleo central con carga +Ze (d´nde Z es a u o el n´mero at´mico) y de un electr´n de carga −e girando alrededor del n´cleo en u o o u una ´rbita circular de radio r con velocidad v constante. o Un electr´n que gira alrededor de un n´cleo en una ´rbita de radio r y con o u o velocidad v se encuentra sujeto a la fuerza de atracci´nelectrost´tica que el n´cleo o a u de carga +Ze ejerce sobre ´l: e Fe = y a la fuerza centr´ ıfuga: mv 2 r A fin de que la ´rbita sea estable estas fuerzas deben compensarse, y cumplirse que: o Fc = mv 2 Ze2 − 2 =0 (1) r r En la ecuaci´n anterior hay dos inc´gnitas, r y v, por lo que para conocerlas es o o necesario encontrar otra relaci´n entre ellas. Esta se obtiene del segundo postulado o deBohr, el cual impone una condici´n sobre el momento angular del electr´n. o o Postulado II El electr´n recorre una determinada ´rbita n con momento angular: o o L = mvr = n h 2π = n¯ h n = 1, 2, . . . (2) (Ze)(−e) Ze2 =− 2 r2 r
El segundo postulado implica que el momento angular del electr´n est´ cuantio a zado, es decir, que s´lo puede adquirir determinados valores caracterizados por el o n´merocu´ntico n. La ecuaci´n 2 se puede explicar utilizando una simple analog´ u a o ıa 1
entre el movimiento de la part´ ıcula y una onda estacionaria montada sobre la ´rbita, o como se explica a continuaci´n. o Para que se establezca una onda estacionaria sobre el per´ ımetro 2πr de la ´rbita o circular, ´sta debe ser tal que quepan un n´mero entero de longitudes de onda: e u 2πr = nλ n = 1, 2, .. . (3)
Si n no fuera un n´mero entero, las posiciones de los nodos cambiar´ en cada u ıan vuelta y la onda no ser´ estacionaria. Aplicando la relaci´n de de Broglie a la ec. 3 ıa o se tiene que: 2πr = n o sea: mvr = n¯ h que es justamente el segundo postulado. Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 1 y 2 se pueden obtener expresiones para las inc´gnitas rn y vn correspondientes alradio y a la velocidad del o electr´n cuando ocupa la ´rbita n: o o rn = y vn = n¯ h Ze2 = mrn n¯ h (5) n2 ¯ 2 h 2m Ze (4) h nh = p mv
Asimismo se puede determinar la energ´ total En del electr´n en la ´rbita n: ıa o o
En (total) = En (cin´tica) + En (potencial) e 1 Ze2 2 = mvn − 2 rn De la ec. 1:
2 mvn =
Ze2 rn
de modo que: 2
En = −
1 Ze2 2 rn
(6)
Se observa que la energ´total es la mitad de la energ´ potencial. Esta propiedad, ıa ıa llamada teorema del virial, es v´lida para todos los sistemas en los cuales el potencial a es una funci´n homog´nea de grado (-1) en las coordenadas. o e Substituyendo rn por su valor (ec. 4) se tiene, finalmente la expresi´n para la o energ´ ıa: En = − e4 m 2¯ 2 h Z2 n2 (7)
Es interesante notar que las energ´ En est´n cuantizadas.Adem´s, todas son ıas a a negativas y En tiende a cero cuando n tiende a infinito. Lo anterior es consecuencia de que el cero de energ´ potencial se ha escogido como el estado en que el ıa electr´n y el n´cleo se encuentran infinitamente separados, de manera que la energ´ o u ıa en cualquier estado ligado es menor que en el estado separado. Las energ´ en ıas orden creciente corresponden al ordencreciente del n´mero cu´ntico n; los En son u a los niveles de energ´ ıa.
0.1
UNIDADES ATOMICAS
Es conveniente agrupar las constantes fundamentales m, e y h en las ecuaciones ¯ ec. 4, 5 y 7 y definir nuevas unidades m´s adecuadas a los c´lculos at´micos. Para a a o el ´tomo de hidr´geno (Z = 1) en el estado fundamental (n=1), el electr´n ocupa la a o o o ´rbita m´s pr´xima al n´cleo. El...
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