Modelo Cobb-Douglas

EL MODELO COBB-DOUGLAS DEL CONSUMIDOR
ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA
Instituto de Filosofía
Facultad de Economía
Universidad Veracruzana
asienrag@gmail.com

1. El modelo Cobb-Douglas
Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un espacio específico obtenemos un modelo específico de la TCD. Aquí desarrolla2. Es interesante observar que la función Cobbremos el modelo paraL
Douglas representa una relación de preferencia clásica. En la construcción de
cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funciones:
(1) La función de demanda walrasiana, la cual asigna a cada sistema de
ˆˆ
( p1 p2 w )
precios-riqueza ( p1 p2 w ) el menú de consumo ( x1 x2 )
que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema. Esta función se
obtiene resolviendo el PMU.
(2) Lafunción indirecta de utilidad v , la cual asigna a cada ( p1 p2 w ) la
utilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa situación;
es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo: v ( p1 p2 w )
u ( p1 p2 w ) ℄.
(3) La función de demanda hicksiana h , la cual asigna a cada vector
( p1 p2 u ), donde u es un nivel de utilidad determinado, el menú de
˜
˜
consumo ( x1 x2 ) queminimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidad
ˇˇ
u : h ( p1 p2 u ) = ( x ˇ). Esta función se obtiene resolviendo el PMG.
˜
˜
ˇy
˜
˜
(4) La función de gasto e , la cual asigna a cada ( p1 p2 u ), donde u es un
nivel de utilidad determinado, el costo mínimo de alcanzar el nivel de
utilidad u : e ( p1 p2 u )
˜
˜
p1 x1 · p2 x2
ˇ
ˇ
ph ( p1 p2 u ). Debe verificarse
˜
que e ( p1 p2 (p1 p2 w )) w .
1

2

GARCÍA DE LA SIENRA

Así, para un consumidor con una función Cobb-Douglas se requiere resolver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:
(1) La función de demanda walrasiana ( p1 p2 w );
(2) la función de utilidad indirecta v ( p1 p2 w );
(3) la función de demanda hicksiana h ( p1 p2 u );
˜
(4) la función de gasto e ( p1 p2 u )
˜
Una vez hecho esto,hay que hacer lo siguiente:
(5) Demostrar que
e ( p1 p2 v ( p1 p2 w ))

w

y v ( p1 p2 e ( p1 p2 u ))
˜

u
˜

( 6) Demostrar que

Ö( p

1

p2 ) e ( p1

p2 u )
˜

h ( p1 p2 u )
˜

( 7) Demostrar que las funciones satisfacen la Ecuación de Slutsky:
Dph ( p u )

Dp ( p w )

·

1( p

w ) Dw ( p w ) ¡ ¡ ¡

( 8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:

 Ö

1Öp v ( p w )
v( p w)
w

( p w)

Se procede primero a resolver el PMU:

«1
Maximizar x1 x2  «
sujeto a p1 x1 · p2x2

w

Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano:
L( x1 x2

)

«1
x 1 x 2  « ·

w   p1x1   p2 x2 ℄

L( p

w ) Dw ( p w ) ℄

M ODELO COBB- DOUGLAS

3

Derivando L con respecto a x1 , x2 y , e igualando las derivadas a cero, obtenemos lascondiciones de primer orden:

«
1
«x1  1 x2  «   p1
(1   «) x « x  «  
1

2

w   p1 x1   p2x2
Despejando

0
p2

(1)
0

(2)

0

( 3)

en (1) y (2), obtenemos

 «1
p1 1 «x1  1 x2  «

(4)

 
« 
p2 1 (1   «) x1 x2 «

(5)

y

Así,

 «1
p1 1 «x1  1 x2  «

 
« 
p2 1 (1   «) x1 x2 «

( 6)

«
Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por x2 yobtenemos

 «
p1 1 «x1  1 x2

 
«
p2 1 (1   «) x1

( 7)

1
Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x1  « ,

 
p1 1 «x2

 
p2 1 (1   «) x1

( 8)

Despejando x2 , obtenemos
x2

 
p1 « 1 p2 1 (1   «) x1

( 9)

Al sustituir la parte derecha de (9) por x2 en la tercera condición, obtenemos:
w

 
p1x1 · p2 p1 « 1 p2 1 (1   «) x1
p1x1 · p1 « 1 (1   «) x1
¢

p1 x1 · « 1(1   «) x1
¢

£

£

p1 1 · « 1 (1   «) x1
p1« 1 x1

4

GARCÍA DE LA SIENRA

Luego, x1
ˆ
x2
ˆ

 
ˆ
«p1 1 w y, sustituyendo x con x en la ecuación (9), obtenemos
 
 
p1 « 1 p2 1 (1   «) «p1 1 w
 
( 1   «) p2 1 w

Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es

 
«p1 1 w
 
(1   «) p2 1 w

( p1 p2 w )

( 10)

La función de utilidad indirecta se calcula...