MOMENTO ANGULAR Y ROTOR RÍGIDO
Páginas: 27 (6594 palabras)
Publicado: 1 de abril de 2014
Lección 5 Química Física (Curso 2010-11)
LECCIÓN 5: MOMENTO ANGULAR Y ROTOR RÍGIDO.
Objetivos de la Lección.
Introducción. Operador momento angular y relaciones de conmutación. El conjunto completo de
funciones propias de los operadores L2 y Lz. Relación entre los valores propios de los operadores L2 y
Lz. El rotor rígido.
Apéndice 5.1: Coordenadas esféricas.
Apéndice 5.2: Moléculas enel medio interestelar.
Apéndice 5.3: Determinación de las funciones propias y los valores propios del operador L2
Cuestiones. Problemas.
OBJETIVOS DE LA LECCIÓN
En esta lección se analizan las funciones propias de dos operadores; el momento angular al
cuadrado, L2, y la proyección del momento angular sobre un eje, Lz. El conocimiento de las
observables correspondientes a estos operadores esde gran trascendencia en todos aquellos problemas
en los que una partícula gira alrededor de un punto.
Varias son las aplicaciones que, a raíz del estudio de las funciones y valores propios de los
anteriores operadores, serán analizadas. Así, dicho estudio permite interpretar y resolver:
-
La energía de rotación de una molécula, y por lo tanto los espectros de rotación de
moléculasgaseosas.
-
El origen de los momentos magnéticos que aparecen en el átomo.
-
La parte angular de la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno
0.5
+
0.3
+
0
0
0
0.3
0
0
0.3
X , Y, Z
+
0.75
0.25
0.3
0.5
0.25
0
0
0.25
X , Y, Z
Y00
-
-
0.3
0.3
+
1.5
0.25
0.75
89
0.75
0
0.75
X , Y, Z
Y10
0
1.5Y20
Lección 5 Química Física (Curso 2010-11)
INTRODUCCIÓN
En esta lección vamos a analizar las funciones propias del operador momento angular al
cuadrado, L2. Este operador interviene en varios fenómenos físicos de enorme interés. Así, en
Mecánica Clásica, la energía de rotación de una molécula diatómica, formada por dos átomos de
masas m1 y m2, y separados una distancia r, puedeexpresarse mediante la relación:
mv 2 ( mvr )
L2
=
=
2
2mr 2
I
2
ER =
(5.1)
Donde, m es la masa reducida de la molécula (m = m1m2/(m1+m2), L = mvr, es el momento
angular, e I = mr2, es el momento de inercia de la molécula. Para r constante, ER y L2, son magnitudes
proporcionales. La relación establecida sigue siendo válida en Mecánica Cuántica, por lo que el
operador energíaserá proporcional al operador L2, siempre que r sea constante.
Otro ejemplo en el que interviene el operador L2 es el siguiente; supongamos un electrón que
gira alrededor de un protón en una órbita plana (ver Figura 5.1-a). En realidad el movimiento del
electrón no tiene lugar mediante órbitas planas, pero como primera aproximación es válida por ahora.
b)
a)
Figura 5.1
La corrienteeléctrica que origina el giro de un electrón que encierra una órbita plana es:
i =−
ev
2πrc
(5.2)
donde c, es la velocidad de la luz, v, la velocidad del electrón y e, su carga. El signo menos se debe a
que la corriente eléctrica se define como el desplazamiento de cargas positivas. Si A = πr2, es el área
encerrada en la órbita del electrón, el módulo del momento magnético que origina elpaso de esta
corriente será:
μ = i A=
ev
erv erp
πr 2 =
=
2πrc
2c 2cm
(5.3)
Los vectores v (o p = mv) y r son rectangulares. La dirección de μ viene dada por el producto
vectorial de estas magnitudes (ver Figura 5-1a).
90
Lección 5 Química Física (Curso 2010-11)
μ=−
μ
e
e
r ∧p=−
L=− B L
2cm
2cm
(5.4)
Donde el vector L = mvr, es el momento angular. Elmomento magnético, y el momento
angular, tienen la misma dirección pero diferente sentido. Se denomina magnetón de Bohr, a la
-21
relación entre constantes :B = e /2cme = 9.27×10
erg/gauss.
Del anterior razonamiento se deduce que; el giro del electrón alrededor del núcleo origina la
aparición de un pequeño momento magnético, denominado momento magnético orbital, lo que es
equivalente a...
LECCIÓN 5: MOMENTO ANGULAR Y ROTOR RÍGIDO.
Objetivos de la Lección.
Introducción. Operador momento angular y relaciones de conmutación. El conjunto completo de
funciones propias de los operadores L2 y Lz. Relación entre los valores propios de los operadores L2 y
Lz. El rotor rígido.
Apéndice 5.1: Coordenadas esféricas.
Apéndice 5.2: Moléculas enel medio interestelar.
Apéndice 5.3: Determinación de las funciones propias y los valores propios del operador L2
Cuestiones. Problemas.
OBJETIVOS DE LA LECCIÓN
En esta lección se analizan las funciones propias de dos operadores; el momento angular al
cuadrado, L2, y la proyección del momento angular sobre un eje, Lz. El conocimiento de las
observables correspondientes a estos operadores esde gran trascendencia en todos aquellos problemas
en los que una partícula gira alrededor de un punto.
Varias son las aplicaciones que, a raíz del estudio de las funciones y valores propios de los
anteriores operadores, serán analizadas. Así, dicho estudio permite interpretar y resolver:
-
La energía de rotación de una molécula, y por lo tanto los espectros de rotación de
moléculasgaseosas.
-
El origen de los momentos magnéticos que aparecen en el átomo.
-
La parte angular de la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno
0.5
+
0.3
+
0
0
0
0.3
0
0
0.3
X , Y, Z
+
0.75
0.25
0.3
0.5
0.25
0
0
0.25
X , Y, Z
Y00
-
-
0.3
0.3
+
1.5
0.25
0.75
89
0.75
0
0.75
X , Y, Z
Y10
0
1.5Y20
Lección 5 Química Física (Curso 2010-11)
INTRODUCCIÓN
En esta lección vamos a analizar las funciones propias del operador momento angular al
cuadrado, L2. Este operador interviene en varios fenómenos físicos de enorme interés. Así, en
Mecánica Clásica, la energía de rotación de una molécula diatómica, formada por dos átomos de
masas m1 y m2, y separados una distancia r, puedeexpresarse mediante la relación:
mv 2 ( mvr )
L2
=
=
2
2mr 2
I
2
ER =
(5.1)
Donde, m es la masa reducida de la molécula (m = m1m2/(m1+m2), L = mvr, es el momento
angular, e I = mr2, es el momento de inercia de la molécula. Para r constante, ER y L2, son magnitudes
proporcionales. La relación establecida sigue siendo válida en Mecánica Cuántica, por lo que el
operador energíaserá proporcional al operador L2, siempre que r sea constante.
Otro ejemplo en el que interviene el operador L2 es el siguiente; supongamos un electrón que
gira alrededor de un protón en una órbita plana (ver Figura 5.1-a). En realidad el movimiento del
electrón no tiene lugar mediante órbitas planas, pero como primera aproximación es válida por ahora.
b)
a)
Figura 5.1
La corrienteeléctrica que origina el giro de un electrón que encierra una órbita plana es:
i =−
ev
2πrc
(5.2)
donde c, es la velocidad de la luz, v, la velocidad del electrón y e, su carga. El signo menos se debe a
que la corriente eléctrica se define como el desplazamiento de cargas positivas. Si A = πr2, es el área
encerrada en la órbita del electrón, el módulo del momento magnético que origina elpaso de esta
corriente será:
μ = i A=
ev
erv erp
πr 2 =
=
2πrc
2c 2cm
(5.3)
Los vectores v (o p = mv) y r son rectangulares. La dirección de μ viene dada por el producto
vectorial de estas magnitudes (ver Figura 5-1a).
90
Lección 5 Química Física (Curso 2010-11)
μ=−
μ
e
e
r ∧p=−
L=− B L
2cm
2cm
(5.4)
Donde el vector L = mvr, es el momento angular. Elmomento magnético, y el momento
angular, tienen la misma dirección pero diferente sentido. Se denomina magnetón de Bohr, a la
-21
relación entre constantes :B = e /2cme = 9.27×10
erg/gauss.
Del anterior razonamiento se deduce que; el giro del electrón alrededor del núcleo origina la
aparición de un pequeño momento magnético, denominado momento magnético orbital, lo que es
equivalente a...
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