rotor rigido

1

EL ROTOR R´
IGIDO

El rotor r´
ıgido es un sistema formado por dos cuerpos A y B unidos por una barra
sin masa, de largo R, y girando en cualquier direcci´n pero con el centro de masa fijo.
o
La energ´ cin´tica de un sistema constituido por dos masas mA y mB cuyas
ıa
e
coordenadas son xA , yA , zA y xB , yB , zB , respectivamente, es:
1
1
T = mA (x2 + yA + zA ) + mB (x2 + yB + zB)
˙ A ˙2
˙2
˙ B ˙2
˙2
2
2

(1)

El conjunto de coordenadas {xA , yA , zA , xB , yB , zB } se puede transformar en
un conjunto equivalente {X, Y , Z, x, y, z} donde las tres primeras coordenadas son
las del centro de masa y las tres ultimas son coordenadas relativas que caracterizan
´
la posici´n de uno de los cuerpos con respecto al otro. Las coordenadas del centro
o
de masa de unsistema de N cuerpos se definen por la ecuaci´n:
o

q=

N
i m i qi
N
i mi

(2)

donde q representa X, Y o Z. En este caso:

X =

mA xA + mB xB
mA + mB

Y

=

mA yA + mB yB
mA + mB

Z =

mA zA + mB zB
mA + mB

(3)

Las coordenadas relativas son:

x = xA − xB
y = yA − yB
z = z A − zB
1

(4)

Las relaciones inversas que dan xA y xB en funci´n de X y de xson:
o

xA =

mB
x+X
mA + mB
(5)

mA
x+X
xB = −
mA + mB
y an´logamente para yA , zA , yB y zB . Substituyendo en la ec. 1 y agrupando los
a
t´rminos, la energ´ cin´tica es:
e
ıa
e
1
1
˙
˙
˙
T = (mA + mB )(X 2 + Y 2 + Z 2 ) + µ(x2 + y 2 + z 2 )
˙
˙
˙
2
2

(6)

donde µ es la masa reducida, definida como:

µ=

mA mB
mA + mB

(7)

˙ ˙
En el rotor r´
ıgido, elcentro de gravedad est´ fijo en el espacio, de modo que X, Y
a
˙
y Z son cero. Entonces
1
T = µ(x2 + y 2 + z 2 )
˙
˙
˙
2

(8)

En el movimiento rotacional puro no hay energ´ potencial y el Hamiltoniano
ıa
del problema es simplemente:
2

h
¯
ˆ
H=−
2µ

2

(x, y, z)

(9)

o
´ escribiendo el Laplaciano en coordenadas polares:
h
¯2 1 ∂
∂
ˆ
H=−
r2
2 ∂r
2µ r
∂r

+1
∂
∂
senθ
2 senθ ∂θ
r
∂θ
2

+

1
∂2
r2 sen2 θ ∂φ2

(10)

Para el rotor r´
ıgido, la coordenada relativa r es igual a una constante R, y el primer
t´rmino del Hamiltoniano desaparece.
e
Es interesante discutir el significado de las coordenadas relativas. En el nuevo
problema ya no se trata de dos masas mA y mB unidas por una barra de longitud R.
Ahora solo hay una masa µque gira a una distancia constante R alrededor del origen. El origen de coordenadas no representa el centro de masa del antiguo rotor. De
hecho, el rotor r´
ıgido desapareci´ totalmente para dar lugar a un nuevo sistema: el
o
de una part´
ıcula de masa µ que se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R.
El momento de inercia I que caracteriza la rotaci´n alrededor de un cierto eje seo
define como

2
mi ri

I=

(11)

i

y es f´cil demostrar que para dos cuerpos, I es simplemente
a

I = µR2

(12)

Substituyendo en el Hamiltoniano, la ecuaci´n de Schr¨dinger queda como:
o
o

−

h
¯2
∂
1 ∂
senθ
2I senθ ∂θ
∂θ

+

1 ∂2
Ψ(θ, φ) = EΨ(θ, φ)
sen2 θ ∂φ2

(13)

que puede ser separada en
d2 Φ(φ)
= λΦ(φ)
dφ2

(14)

y
−

1 d
dΘ(θ)
senθsenθ dθ
dθ

+

λ
2IE
Θ(θ) = 2 Θ(θ)
2θ
sen
h
¯

donde Ψ(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) y λ es una constante.

3

(15)

1.1

Autofunciones y autovalores

La soluci´n de la ec. 14 es bien conocida:
o

Φ(φ) = N e±i

√

λφ

donde N es la constante de normalizaci´n. Es conveniente definir
o

λ ≡ m2
para que las soluciones Φ(φ) puedan ser escritas de la manera siguiente:

Φ(φ) =eimφ ,

m = 0, ±1, ±2, . . .

(16)

La ec. 15 puede ser modificada mediante ciertas substituciones para quedar semejante a la ecuaci´n asociada de Legendre. Sus soluciones son:
o
|m|

|m|

Θl (θ) = N Pl

(cosθ)
|m|

(17)

donde N es la constante de normalizaci´n, y Pl (cosθ) son los polinomios asoo
ciados de Legendre. Los n´meros cu´nticos l y m son tales que l = 0, 1, 2, . . ....