Momentos de segundo orden

Definición de momentos de inercia para áreas
La terminología "momento de inercia" que se usa, es en realidad errónea; sin embargo, ha sido adoptada debido a la similitud con integrales de la misma forma relacionadas con la masa.
El momento de inercia de un área se origina siempre que relacionamos el esfuerzo normal σ (sigma), o fuerza por unidad de área, que actúa sobre la sección transversalde una viga elástica, con el momento M aplicado externo, el cual causa flexión de la viga. A partir de la teoría de la mecánica de materiales, se puede mostrar que el esfuerzo dentro de la viga varía linealmente con su distancia desde un eje que pasa por el centroide e del área de la sección transversal de la viga, es decir, σ = kz. La magnitud de la fuerza que actúa sobre el elemento de área dA,mostrado en la figura, es entonces dF = σ= dA=kz
Como esta fuerza está localizada a una distancia z del eje y, el momento de dF con respecto al eje y es dM = dFz = kz2dA. El momento resultante de la distribución total de esfuerzo es igual al momento aplicado M; por tanto, M = kz2dA. Aquí, la integral representa el momento de inercia del área con respecto al eje y.
Como integrales de estaforma surgen a menudo en fórmulas usadas en mecánica de materiales, mecánica estructural, mecánica de fluidos y diseño de máquinas, el ingeniero debe familiarizarse con los métodos usados para su cálculo.
Momento de Inercia
Los momentos de inercia del área diferencial plana dA con respecto a los ejes x y y son dIx = y2dA y dIy=x2dA, respectivamente. Los momentos de inercia son determinados porintegración para toda el área; es decir,
Ix=Ay2dA (1)
Iy=Ax2dA
También podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo O o eje z. A este se le llama momento de inercia polar, dJo=r2dA. Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el área, el momento de inercia polar es:
JO=Ar2dA=Ix+Iy (2)
La relación entre es JOposible puesto que r2=x2+y2. A partir de las formulaciones anteriores se ve que Ix,Iy y JO siempre serán positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además, las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia, esto es,m4, mm4 o pies4, pulg4.
Momentos de inercia para áreas compuestas
Un área compuesta consiste en una seriede partes o formas "más simples" conectadas, tales como semicírculos, rectángulos y triángulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.
Momentos de inercia
Problema 1
Determine por integracióndirecta el momento de inercia de área sombreada respecto al eje y


y=kx13Y
x
sol:

I y =x2dA ………………………….(∞)
Pero:
dA=ydx =kx13dx
Además:
y=kx13
Cuando:
X=a, y=b…………k=ba13 q dA=ba13………………(β)
Cuando (∞) en (β)
Iy=0ax2*ba13*x13*dx=ba130ax13dx
=ba13x1031030a=ab10a13a103-0
I y =ab10

Problema 2:
Determine por integración directa el momento de inercia de área sombreada respecto al eje x

y=kx13

Y
x
Incog: Ix...