Movimiento armonico amortiguado



MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO
Kevin Ronquillo – Christian Tercero


INTRODUCCIÓN:
Se ha discutido en muchas ocasiones, los conceptos relacionados con el movimiento oscilatorio, con énfasis general, en el movimiento oscilatorio armónico. No hay que olvidar, como se advirtió oportunamente, que el movimiento armónico simple, es la primera aproximación en el estudio de ésta clase de movimientos.Ahora tenemos que enfrentar la realidad. Si bien estos movimientos constituyen la fuente de la propagación ondulatoria de la energía, el hecho de restringir el estudio a los movimientos armónicos, es sólo por simplicidad, porque aún los movimientos anarmónicos, siguen siendo fuentes de la misma propagación ondulatoria de la energía, solo que en esos casos, serían ondas anarmónicas. No hay queolvidar, que aún las representación ondulatoria más compleja, siempre puede ser descompuesta (análisis de Fourier) en ondas armónicas simples. Para tratar de visualizar de alguna forma la diferencia entre los sistemas; sin y con, amortiguamiento, es necesario analizar con cuidado las oscilaciones en general.

EL MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO (M.A.A.)


La discusión del movimiento armónico simple enlas secciones previas indica que las oscilaciones tienen amplitud constante. Sin embargo, por experiencia, sabemos que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, con una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, el movimiento oscilatorio amortiguado.
Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos, la descripción delmovimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al caso del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (buena aproximación en muchos casos) la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente.




Donde (y) es la constante de amortiguamiento y los demás símbolos tiene el significado que se señaló anteriormente. La solución de estaecuación tiene la forma matemática de oscilaciones amortiguadas, es decir, oscilaciones en que la amplitud decrece con el tiempo.
Sin entrar en la teoría de resolución de ecuaciones diferenciales, diremos que cuando el amortiguamiento es pequeño, la variación temporal del ángulo d con el tiempo, a la que designaremos (x: d/ dt )
puede escribirse como:


Debido a la presencia del término exponencial,esta ecuación expresa que la amplitud seva reduciendo a medida que transcurre el tiempo; además, en ella aparece el termino como frecuencia angular. El valor de w es:




Esto supone que la frecuencia angular del movimiento amortiguado es MENOR que la del movimiento con amortiguamiento nulo o dicho alternativamente, que el periodo T del movimiento amortiguado crece con respecto al del movimientono amortiguado.



Esta ecuación se describe usualmente en la forma



Donde es la diferencia angular sin amortiguamiento.
Esta es una ecuación diferencial que difiere de la ec. (12.12) del movimiento armónico simple, en que contiene el término adicional.

. En lugar de intentar resolverla de una manera formal , escribamos su solución para el caso de pequeño amortiguamiento,cuando

La solución es entonces:

Donde A y α son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones iníciales y




Se nota que la sustitución de la ec. ( 1) en( *) es la solución de la ecuación. Entonces como contiene dos constantes arbitrarias es la solución general de la ecuación diferencial. La ec. (2)

Indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de lasoscilaciones.
La amplitud es decreciente cuando el tiempo aumenta por lo que resulta un movimiento amortiguado. Se puede notar fácilmente en la ecuación , debido al exponente negativo.


Si el amortiguamiento es muy grande, (y) puede ser mayor que ( w, Y, w) , si se reemplaza se volvería imaginaria, por lo tanto en este caso no hay oscilaciones y la partícula si se la desplaza y se deja libre se...