Movimiento vibratorio amortiguado

Movimiento vibratorio amortiguado
Hablando de resortes.
⇒Deducción de la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio
con amortiguación.
Suponemos que las fuerzas de amortiguación sonproporcionales a una
potencia de la velocidad instantánea. En particular que esta fuerza está
dada por un múltiplo constante de:

Cuando no actúan otras fuerzas exteriores sobre el sistema se tiene que:• “Segunda ley de Newton”

Donde β es una constante de amortiguación (positiva), pero el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora debe tener sentido contrario al movimiento. Y k es laconstante del resorte.
Dividiendo entre la masa (m), tenemos la ecuación diferencial del movimiento vibratorio amortiguado libre: (ED. lineal, homogénea, coeficientes constantes)

⇒Solución de laecuación diferencial.
Para facilitarnos observar el polinomio asociado a la ecuación diferencial
realizamos un cambio de variable:


Ya que tenemos dentro de la raíz cuadrada una resta, podemosvisualizar que es lo que pasa cuando lo que tenemos dentro de la raíz es positivo, negativo o cero, por lo tanto evaluaremos los tres diferentes casos y observaremos gráficamente el comportamiento delsistema, ya que cada solución tendrá el siguiente “factor de amortiguación”

Siendo que λ > 0, ya que es el cociente de la constante de amortiguación y de la masa, y ambos valores son mayores quecero, los desplazamientos de la masa cuando t tiende al infinito se volverán insignificantes. Basta con observar que tenemos en la exponencial (-λt) donde todos los valores serán negativos y mientrasel tiempo crezca el número al aplicarle la exponencial será cada vez más pequeño.
•Caso I.
λ2 - w2 >0
Cuando tenemos ésta condición decimos que el sistema está sobreamortiguado, puesto que β (coeficiente de amortiguación ) es mayor a k ( la constante el resorte). Tenemos la siguiente solución:

Sustituyendo las raíces del polinomio.

En esta ecuación se representa un movimiento suave y no...