Muestreo por àreas

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3
Esercizio 68 Sia X una v.c. uniformenente distribuita nell’intervallo (− π , π ), cio` e 2 2 fX (x) = 1 1 π π (x). π (− 2 , 2 )

Tenendo conto che P (arccos(y) ≤ |X| ≤ π/2) = 2P (arccos(y) ≤ X ≤ π/2) = 1 − 0 ≤ y ≤ 1, derivando si trova 2 1(0,1) (y). fY (y) = π 1 − y2

Posto Y = cos(X), trovare la distribuzione di Y . Soluzione.  se y < 0 0 FY (y) = P (cos(X) ≤ y) = P (arccos(y) ≤ |X| ≤ π/2) se 0 ≤ y ≤ 1  1 se y > 1.

2 π

arccos(y) per

Esercizio 69 Si scelga a caso un punto X dell’intervallo [0, 2], con distribuzione uniforme di densit` a fX (x) = 1 1 (x) 2 [0,2]

(in altre parole, X ` una v.c. con densit` f X ). Qual ` la probabilit` che il triangolo equilatero il e a e a cui lato ha lunghezza X abbia area maggioredi 1? Soluzione. Se A ` l’area del triangolo, si ha e √ 2 3 . A=X 4 Perci` o P (A > 1) = P (X > 2/31/4 ) = 1 − 3−1/4 . Esercizio 70
∗

Si scelga a caso un angolo Θ ∈ (0, π ) con distribuzione uniforme di densit` a 2 fΘ (θ) = 2 1 π (θ), π (0, 2 )

e si consideri il punto del piano di coordinate (cos(Θ), sin(Θ)). Per tale punto si tracci la tangente alla circonferenza di centro (0, 0) e raggio1, e sia L la lunghezza del segmento i cui estremi sono i punti d’intersezione di tale tangente con gli assi cartesiani. Determinare la distribuzione di L. 1 Soluzione. Si noti che L = tan(Θ) + tan(Θ) (in particolare L ≥ 2). Inoltre, posto t = tan(Θ) > 0, per x ≥ 2 √ √ x + x2 − 4 x − x2 − 4 2 1

FY (y) = P Ma

1 ≤y . 1 − X2 ⇐⇒ |X| ≤ 1 y = 1 1− . y 1 1− . y

Perci` o

1 1 ≤ y ⇐⇒ 1 − X 2 ≥ 21−X y FY (y) = P |X| ≤ 1−

Esercizio 72 ∗ Sia X una variabile casuale scalare assolutamente continua, che ammette valor medio e tale che P (X > 0) = 1. Tramite un’opportuna integrazione per parti mostrare che
+∞

E(X) =
0

P (X > t)dt.

Soluzione. Notando che P (X > t) = 1 − F X (t), integrando per parti si trova che, per x > 0,
x x

P (X > t)dt = xP (X > x) +
0 0

tfX (t)dt.

`E dunque sufficiente dimostrare che
x→+∞

lim xP (X > x) = 0. (•)

Per far ci`, si noti che poich´ X ammette valor medio o e
+∞ x→+∞ x

lim

tfX (t)dt = 0.

Ma essendo t ≥ x per t ∈ [x, +∞), ne segue che
+∞ x +∞

tfX (t)dt ≥ x

fX (t)dt = xP (X > x),
x

e quindi (•) segue. 2

Esercizio 73 Siano X1 , X2 , . . . , Xn ∼ Exp(λ) indipendenti, e Y = max(X1 , . . . , Xn ), Z =min(X1 , . . . , Xn ). Determinare la distribuzione di Y e Z. Soluzione. Basta usare la Proposizione 2.8.9 delle dispense, e si trova F Y (x) = (1 − e−λt )n , Z ∼ Exp(nλ). Esercizio 74 Siano X, Y ∼ N (0, 1) indipendenti. a. Determinare la densit` congiunta di (X + Y, X − Y ), e mostrare che esse sono indipendenti. a Inoltre calcolare le densit` marginali di X + Y e X − Y . a Soluzione. Posto Z = X + Y, W = X − Y , si ha Z W dove A= Essendo det(A) = −2 e =A X , Y .

1 1 1 −1

A−1 =

per la formula di trasformazione di variabili assolutamente continue si ha
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 fZ,W (z, w) = √ e− 8 (z+w) √ e− 8 (z−w) = √ e− 4 z √ e− 4 w , 2π 2π 2π 2π

1/2 1/2 1/2 −1/2

da cui segue che .X + Y e X − Y sono indipendenti, e X − Y e X + Y ∼ N (0, 2). Esercizio 75 Siano X e Y duevariabili casuali scalari, assolutamente continue e indipendenti, con densit` fX e fY rispettivamente. a a. Mostrare che, posto Z = X − Y , fZ (z) = fX (x + z)fY (x)dx.

b. Usando la formula nel punto a., determinare f Z nel caso in cui X ∼ Exp(1) e Y ∼ Exp(1). Soluzione. a. Posto W = −Y , passando per la funzione di ripartizione si ha che f W (x) = fY (−x) ∀x. Inoltre X e W sono indipendenti. Allora,per la formula di pag. 71, fX−Y (z) = fX+W (z) = fX (ξ)fW (z − ξ)dξ = fX (ξ)fY (ξ − z)dξ = fX (x + z)fY (x)dx,

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo usato il cambio di variabile x = ξ − z. b. fZ (z) = e−(x+z) 1[0,+∞) (x + z)e−x 1[0,+∞) (x)dx = e−z
+∞

e−2x dx

max(0,−z)

1 1 = e−z e−2 max(0,−z) = e−|z| , 2 2 dove abbiamo usato il fatto che z + 2 max(0, −z) = |z|. 3

Esercizio 76...