Muestreo

13. MUESTREO Y ESTIMACIÓN

MUESTREO

Muestra Aleatoria de tamaño n es una colección de n variables aleatorias, todas con la misma distribución y todas independientes. La colección de donde extraemos la muestra aleatoria, se denomina Población. Nuestra intención al tomar una muestra, es la de hacer Inferencia. Este término lo usamos en estadística para denotar al procedimiento con el quehacemos afirmaciones acerca de valores generales de la población mediante los números que observamos en la muestra.

A un valor calculado con los datos de una muestra es el Estadístico. Al valor del parámetro en la población es el Estimador. Y es Estimador Puntual cuando se estima el parámetro poblacional a partir de un valor único).

Características probabilísticas de un estimador. Cuando se tieneuna fórmula para estimar y se aplica a una muestra aleatoria, el resultado es aleatorio, es decir los estimadores son variables aleatorias. Por ejemplo si se recibe un embarque de objetos que pueden estar listos para usarse ó defectuosos. Podemos seleccionar, al azar, algunos de ellos para darnos una idea de la proporción de defectuosos en el embarque. El parámetro de interés es la proporción dedefectuosos en toda la población, pero lo que observamos es la proporción de defectuosos en la muestra.

Valor esperado de un estimador y sesgo. El valor esperado de un estimador nos da un valor alrededor del cual es muy probable que se encuentre el valor del estimador. Para poner un ejemplo, si supiéramos que el valor esperado de un estadístico es 4, esto significaría que al tomar una muestra:No creemos que el valor de la estadística vaya a ser 4, pero tampoco creemos que el valor de la estadística vaya a estar lejos de 4.

Ya que es muy probable que el valor del estimador esté cerca de su valor esperado, una propiedad muy deseable es que ese valor esperado del estimador coincida con el del parámetro que se pretende estimar. Al menos, quisiéramos que el valor esperado no difieramucho del parámetro estimado. Por esa razón es importante la cantidad que, técnicamente llamamos sesgo.

Convención, para efectos del estudio de ahora en adelante se presentan la siguiente convención, [pic] representan, el parámetro que estamos midiendo y el valor obtenido en la medida o muestreado, respectivamente

El sesgo es la diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro queestima. [pic], [pic]

Si el sesgo 0, se dice que el estimador es insesgado y ésta es una característica buena para un estimador. Un estimador que es insesgado tiene una alta probabilidad de tomar un valor cercano al valor del parámetro.

Varianza de un estimador. Otra propiedad importante de un estimador es su varianza. La importancia de la desviación estándar es que nos permite darle unsentido numérico a la cercanía del valor del estimador a su valor esperado. Entre menor sea la desviación estándar de un estimador, será más probable que su valor en una muestra específica se encuentre mas cerca del valor esperado.

Para aclarar esto, considere dos estimadores T1 y T2, suponga que ambos son insesgados y suponga que la varianza de T1 es menor que la de T2, lo cual quiere decir quelos valores de T1 son más probables que los de T2. O sea que vamos a encontrar a T1 más cerca del valor del parámetro que a T2. Esto hace que nuestras preferencias estén con T1.

Cuando un estimador tiene una varianza menor que otro decimos que el estimador es más eficiente.

La distribución de probabilidad de un estadístico. Quizá el resultado más importante para la estadística es el Teoremadel Límite Central. Este resultado nos indica que, para el estadístico promedio de la muestra

- el valor esperado es la media de la población.
- la varianza es igual a la de la población dividida por el número de elementos de la muestra.
- la distribución de probabilidad es la normal.

Este teorema es muy importante porque permite calcular probabilidades acerca de dónde se encuentra el...