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CÁLCULO
Ingeniería Industrial. Curso 2008-2009. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Lección 7. Aplicaciones de las derivadas parciales.
Resumen de la lección. 7.1. Derivación implícita. Curvas y superficies en forma implícita. Una representación implícita de una curva en el plano es una ecuación de la forma F (x, y) = 0. Una representación implícita de unasuperficie en R3 es una ecuación de la forma F (x, y, z) = 0. La representación implícita de una curva en el espacio se realiza mediante dos ecuaciones de la forma ½ F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0.

En los tres casos es posible que no pueda despejarse, al menos de forma sencilla, las variables necesarias como para escribir dichas curvas y superficies mediante una representación explícita. Los siguientesteoremas permiten saber que es posible hacerlo y trabajar, sin conocer dichas representaciones, de manera local. Teorema de la función implícita para una curva en el plano. Sea la curva plana F (x, y) = 0 con F : U ⊆ R2 → R un campo escalar de clase C n en un abierto U. Si (x0 , y0 ) ∈ U es un punto de la curva, esto es F (x0 , y0 ) = 0, y Fy (x0 , y0 ) 6= 0 entonces es posible expresar y en funciónde x en un entorno de x0 , es decir, existe una función y = y (x) verificando que F (x, y (x)) = 0 en un entorno de x0 , de manera que y (x0 ) = y0 y que y (x) es un función de clase C n en dicho entorno. Derivación implícita en el plano. Si la ecuación F (x, y) = 0 verifica las condiciones del teorema anterior en (x0 , y0 ) entonces se sabe que y = y (x) en un entorno de x0 . La derivaciónimplícita consiste en derivar la expresión F (x, y (x)) = 0

respecto de x y calcular y 0 (x) en función de x e y. Volviendo a derivar la ecuación encontrada obtenemos y 00 (x) en función de x, y e y 0 , y así sucesivamente. Dicha derivación sólo es posible en un entorno de x0 . Teorema de la función implícita para una superficie en el espacio. Sea la superficie F (x, y, z) = 0 con F : U ⊆ R3 → R un campoescalar de clase C n en un abierto U. Si (x0 , y0 , z0 ) ∈ U es un punto de la superficie, esto es

F (x0 , y0 , z0 ) = 0, y Fz (x0 , y0 , z0 ) 6= 0 entonces es posible expresar z en función de x e y en un entorno de (x0 , y0 ), es decir, existe una función z = z (x, y) verificando que F (x, y, z (x, y)) = 0 en un entorno de (x0 , y0 ), de manera que z (x0 , y0 ) = z0 y que z (x, y) es un campoescalar de clase C n en dicho entorno. Derivación implícita de una ecuación en el espacio. Si la ecuación dada por F (x, y, z) = 0 verifica las condiciones del teorema anterior entonces se puede escribir z = z (x, y) en un entorno de (x0 , y0 ) . La derivación implícita consiste en hallar las parciales de la ecuación F (x, y, z (x, y)) = 0 respecto de las dos variables que quedan, lo que lleva ados ecuaciones donde es posible despejar zx (x, y) y zy (x, y) . Si nuevamente se derivan estas dos ecuaciones se obtienen parciales de segundo orden y así sucesivamente. Esta derivación sólo es aplicable en un entorno de (x0 , y0 ). Teorema de la función implícita para una curva en el espacio. Sea la curva dada por las ecuaciones ½ F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 con F, G : U ⊆ R3 → R dos camposescalares de clase C n en un abierto U . Si (x0 , y0 , z0 ) ∈ U es un punto de la curva, esto es F (x0 , y0 , z0 ) = G (x0 , y0 , z0 ) = 0, y ¯ ¯ ¯ Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ Gy (x0 , y0 , z0 ) Gz (x0 , y0 , z0 ) ¯ 6= 0

entonces es posible expresar las variables y y z en función de x en un entorno de x0 , es decir, existen dos funciones y = y (x) y z = z (x) verificando F (x, y(x) , z (x)) = G (x, y (x) , z (x)) = 0 en un entorno de x0 , de manera que y (x0 ) = y0 , z (x0 ) = z0 y, además, las funciones y (x) y z (x) son de clase C n en dicho entorno. Derivación implícita de dos ecuaciones en el espacio. Si las ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G (x, y, z) = 0 verifican las condiciones del teorema anterior entonces se puede escribir y = y (x) y z = z (x) en un entorno de...