Método De Euler

MÉTODO DE EULER
1. INTRODUCCIÓN
Primordialmente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en sustituir el dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos aislados igualmente espaciados entre sí.
Así, en un problema de valores iníciales, el dominio de definición de soluciones X ≥ a se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos,
X0=a, X1= X0 +h, X2 = X0 + 2h, X3 = X0 + 3h, …
Y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo a ≤ X ≤ b por el conjunto finito de puntos
X0=a, X1= X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn = X0 + nh = b
Obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales.
La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.
2.OBJETIVOS
➢ Comprender el método de Euler para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer grado.
➢ Demostrar el uso de este método mediante un programa.
3. MARCO TEÓRICO
Se llama método Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.
Calculemos la ecuación de la recta tangente a lacurva solución de la ecuación diferencial  dada   en el punto  [pic]. De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: 
                                                [pic] 
Donde  m  es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
[pic] 
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: 
[pic] 
Ahorabien, suponemos que X1  es un punto cercano a X0, y por lo tanto estará dado como X1= X0 + h. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:
[pic]
De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: 
[pic] 
Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de  h es más grande, entonces podemos cometer muchoerror al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia  [pic] en  n  partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en  n  pasos, aplicando la fórmula anterior  n  veces de un paso a otro, con la nueva  h  igual  a  [pic].
En una gráfica, tenemos losiguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 
[pic][pic] 
Para obtener  [pic]  únicamente hay que pensar que ahora el papel de  [pic] lo toma el punto [pic], y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que: 
[pic] 
De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: 
[pic] 
Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de [pic] aplicándola sucesivamente desde  [pic]  hasta  [pic] en pasos de longitud  h. 
Ejemplo
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: 
[pic]
Aproximar 
[pic]
NOTA
Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. Solución Numérica
Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre  [pic] y  [pic] no es lo suficientemente pequeña. Si decidimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de  [pic] y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. 
De esta forma, tenemos los siguientes datos: 
[pic] 
Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, enun primer paso:    
[pic] 
Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 
[pic] 
Y así sucesivamente hasta obtener  [pic]. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 
|n |[pic] |[pic] |
|0 |0 |1 |
|1 |0.1 |1...