Métodos Numéricos Regresión Lineal

INTRODUCCIÓN
El método de regresión lineal que es de amplio uso en el análisis de datos bivariados. Recordemos que los datos bivariados vienen configurados en pares ordenados con componentes asociadas a la variable “x” y a “y”. Cuando estos pares ordenados se disponen en un plano cartesiano se define una nube de puntos que corresponde a un diagrama de dispersión. Se busca que todos los puntosguarden una estrecha relación con un perfil particular para poder definir más fácilmente su comportamiento. El perfil por excelencia es una línea recta. Se pretenden entonces que los puntos se acerquen en gran medida a dicha recta. Las herramientas para poder definir la cercanía a la línea son la Covarianza y el coeficiente de variación de Pearson (r). No obstante, teniendo estas herramientas, esposible establecer una medida un poco más precisa de la recta a la cual se ajustan los puntos, lo que se hace mediante la regresión lineal. Recordemos que la regresión lineal es una herramienta que permite conocer el comportamiento de una variable (normalmente la variable y) respecto de la otra (variable x). Esto se logra mediante una línea recta que se define como y=ax+b, donde a es la pendiente ogrado de inclinación y b el intercepto con el eje de las ordenadas o eje “y”. Existen dos métodos para establecer la regresión lineal.
El primero es el método de la Covarianza que, como su nombre lo indica, requiere que sea calculada la covarianza entre las variables “x” y “y”. Dicha covarianza sirve para definir el valor “a”, es decir, el valor correspondiente a la pendiente, el cual se hallacomo una relación que existe entre la covarianza de ambas variables con el cuadrado de la desviación estándar de la variable independiente. Como es posible apreciar la desviación estándar debe ser diferente de cero, ya que si no la hay no es posible definir una covarianza. Cuando se tiene el valor de la pendiente se busca el intercepto con el eje de las ordenadas, o sea el valor b, dondeintervienen las medias de “x” y “y”. Se emplea la misma fórmula de la recta. Si recordamos que el valor de y es inamovible y constante a lo largo de toda la recta, podemos hallar su valor con los valores de las medias, que ya son conocidos y se acomodan perfectamente al modelo de la recta.


HISTORIA
La primera forma de regresión fue el método de mínimos cuadrados, que fue publicado por Legendre en1805, y por Gauss en 1809. Legendre y Gauss tanto aplicaron el método para el problema de determinar, a partir de observaciones astronómicas, la órbitas de los cuerpos sobre el Sol (la mayoría de los cometas, sino también más tarde el entonces recién descubiertos planetas menores). Gauss publicó un desarrollo posterior de la teoría de los mínimos cuadrados en 1821, incluyendo una versión del teoremade Gauss-Markov.
El término "regresión" fue acuñado por Francis Galton en el siglo XIX para describir un fenómeno biológico. El fenómeno fue que las alturas de los descendientes de ancestros altos tienden a regresar hacia abajo, hacia un promedio normal (un fenómeno conocido como regresión hacia la media). Para Galton, la regresión sólo tenía este significado biológico, pero su trabajo seextendió más tarde por Udny Yule y Karl Pearson a un contexto estadístico más general. En la obra de Yule y Pearson, la distribución conjunta de la respuesta y las variables explicativas se supone que es de Gauss. Esta suposición se vio debilitada por RA Fisher en sus obras de 1922 y 1925. Fisher supone que la distribución condicional de la variable de respuesta es de Gauss, pero la distribuciónconjunta no es necesaria. A este respecto, la asunción de Fisher está más cerca de la formulación de Gauss de 1821.
En los años 1950 y 1960, los economistas utilizan calculadoras electromecánicas para calcular regresiones. Antes de 1970, a veces tardaba hasta 24 horas para recibir el resultado de una regresión.
Los métodos de regresión siguen siendo un área de investigación activa. En las últimas...