Regresion Polinomial - Metodos Numericos

INTRODUCCIÓN
Algunos datos de ingeniería, aunque exhiben un patrón marcado, está pobremente representado por una línea recta. Para esos casos, una curva podría ser más adecuada para el ajuste de los datos. Como se analizó en la sección anterior, un método para cumplir con este objetivo es usar transformaciones. Otras alternativas son ajustar polinomios con los datos mediante regresión depolinomios.

ANTECEDENTES MATEMÁTICOS
Antes de iniciar algún tipo de estudio sobre la regresión curvilínea y lineal múltiple, debemos de enfatizar la naturaleza introductoria del material sobre regresión lineal. Nos hemos concentrado en la derivación simple y uso práctico de ecuaciones para ajustar datos. Debemos conocer algunos aspectos que son de importancia para la comprensión de este método. Porejemplo, algunas suposiciones estadísticas que son inherentes en los procedimientos por mínimos cuadrados lineales son:
1. Cada “X” tiene un valor fijo; no es aleatorio y es conocido sin error.
2. Los valores “Y” son variables aleatorias independientes y todas tienen la misma varianza.
3. Los valores de “Y” para una “X” dada deben ser normalmente distribuidos.
Tales suposiciones sonrelevantes para la derivación adecuada y uso de regresión. Por ejemplo, la primera suposición significa que:
1. Los valore “x” deben de estar libres de errores.
2. La regresión de “Y” contra “X” no es la misma que la de “X” contra “Y”
Teniendo a mano estos aspectos matemáticos es posible aplicar la regresión de polinomios de madera efectiva.

REGRESIÓN DE POLINOMIOS
Observe que laprincipal tarea es la generación de los coeficientes de las ecuaciones normales.
Un problema potencial asociado con la implementación de regresión de polinomios en la computadora es que las ecuaciones normales algunas veces están mal condicionadas.
Esto es en particular cierto para versiones de orden superior. Para esos casos, los coeficientes calculados podrían ser altamente susceptibles al error deredondeo y, en consecuencia, los resultados pueden ser inexactos. Entre otras cosas, este problema se relaciona con la estructura de las ecuaciones normales y por el hecho de que para los polinomios de orden superior las ecuaciones normales pueden tener coeficientes muy grandes y muy pequeños. Esto se debe a los coeficientes y sumatorias de los datos elevados a potencias.
Algoritmo para laimplementación de polinomios y regresión lineal múltiple:
1. Introduzca el orden del polinomio sujeto a ajuste, m.
2. Integre el número de datos, n.
3. Si n<x+1 imprima un mensaje de error que indique que la regresión no es posible y termine el proceso. Si n≥m+1, continúe.
4. Calcule los elementos de la ecuación normal en la forma de una matriz aumentada.
5. Resuelva la matrizaumentada para los coeficientes a0, a1, a2, ..., am por medio de un método de eliminación.
6. Imprima los coeficientes.

“Pseudocódigo para ensamblar los elementos de las ecuaciones normal para regresión de polinomios”
Aunque las estrategias para disminuir el error de redondeo, tal como el pivoteo, pueden ayudar a remediar en forma parcial este problema, una alternativa más simple es usar unacomputadora con más alta precisión. Por fortuna, la mayoría de los problemas prácticos están limitados a polinomios de orden inferior para los cuales el error de redondeo es insignificante. En situaciones donde se requieren versiones de orden superior, se dispone de otras alternativas para ciertos tipos de datos.

MÍNIMOS CUADRADOS
El procedimiento de mínimos cuadrados se puede fácilmenteextender al ajuste de datos con un polinomio de orden superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo orden o cuadrático:
y=a0+a1x+a2x2+e
Para este caso la suma de los cuadrados de los residuos es:
Sr=i=1nyi-a0-a1x1-a2x122
Tomamos la derivada de la ecuación con respecto de cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio, como en:

Estas ecuaciones se pueden igualar...