números complejos






























































































































Gauss Jordán Inversa de una matriz Regla de Cramer























Definición de espacio vectorial.
Sean K uncuerpo dado y V un conjunto no vacio, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas. 

[A1] para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).
[A2] existe un vector en V, denotado por 0y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.
[A3] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.
[A4] para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.
[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.
[M2] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.
[M3] para todo par de escalares a, bϵK y todovector uϵV, (ab)u=a(bu).
[M4] el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y nodepende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define según u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la del cuerpo K sobre V. observece que la rotulación de los axiomasrefleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.
Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.
Si ku=0, donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.
Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku.



 Definición de subespacio vectorial y suspropiedades.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es unsubespacio de V si y solo si se cumple:
0єW
W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.
Corolario:
 W es un subespacio de V si y solo si:
0єW.
au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK
Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios deun espacio vectorial V es un subespacio de V.
Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un subespacio de kn.
Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.




Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una basepara un espacio vectorial V si
i. v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente
ii. v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn
En Rn se define






Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto,...