Nabla

El operador ∇ y sus propiedades
⎛∂ ∂ ∂⎞ En coordenadas cartesianas el operador ∇ = ⎜ , , ⎟ . ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎝ ⎠ Este operador puede actuar tanto en un campo escalar φ, como sobre un campovectorial F. Gradiente. Actúa sobre un campo escalar y su resultado es un campo vectorial. ⎛∂ ∂ ∂⎞ ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = ⎜ , , ⎟φ = i+ j+ k ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ Divergencia. Actúa sobre uncampo vectorial y su resultado es un campo escalar. ∂Fy ∂Fz ∂F ⎛∂ ∂ ∂⎞ ∇.F = ⎜ , , ⎟.F = x + + ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎝ ⎠ Rotacional. Actúa sobre un campo vectorial y su resultado es un campovectorial.
i ∂ ∇×F =. ∂x Fx j ∂ ∂y Fy k ∂ ⎛ ∂Fz ∂Fy ⎞ ⎛ ∂Fz ∂Fx ⎞ ⎛ ∂Fy ∂Fx ⎞ ⎟i − ⎜ ⎟k =⎜ − − − ⎟j + ⎜ ∂z ⎜ ∂y ∂z ⎠ ⎜ ∂x ∂z ⎟ ⎝ ∂x ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Fz

El operador Laplaciana se definecomo ∂2 ∂2 ∂2 + + ∇ 2 == ∂x ∂y ∂z Laplaciana de un escalar . Actúa sobre un campo escalar y su resultado es un campo escalar. ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∇ 2φ = + + ∂x ∂y ∂z Laplaciana de un vector.Actúa sobre un campo vectorial y su resultado es un campo vectorial. ∇ 2 F = ∇ 2 Fx i + ∇ 2 Fy j + ∇ 2 Fz k Propiedades. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) ∇(φ+ϕ)=∇φ + ∇ϕ ∇.(F+G)=∇.F + ∇.G ∇×(F+G)=∇×F + ∇×G∇(φϕ)=(∇φ)ϕ + φ (∇ϕ) ∇(φF)= φ (∇F ) + (∇φ). F ∇×(φF)= φ(∇×F) + (∇φ)×F ∇ . (F×G)=G.(∇×F )− F .(∇×G)

8) ∇×(F×G)= F (∇.G)- G (∇.F)+ (G .∇)F-(F.∇)G 9) ∇ (F.G)=(F. ∇)G+ (G . ∇)F+ F × (∇×G)+G×(∇×F ) 10) ∇×(∇×F)= ∇ (∇.F)- ∇ 2 F

11) ∇×(∇.φ) = 0 12) ∇.(∇×F) = 0 13) ∇2 (φ+ϕ) = φ∇2 ϕ + 2 ∇φ∇ϕ + ϕ∇2φ Caso particular de la propiedad 9 cuando F = G. ∇ (F.F) = (F. ∇)F+ (F . ∇)F+ F ×(∇×F)+F× (∇×F ) ∇ (F2) = 2 (F. ∇)F+ 2 F × (∇×F) Despejando (F. ∇)F = 1/2∇ (F2)-F × (∇×F) Teorema de Gauss o de la divergencia ∫ F dA = ∫ ∇ F dV
S V

Teorema de Stokes ∫ F dl = ∫ (∇ × F)dA
l S

Derivada a lo largo de una línea ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ dx + dy + dz = ( i + j+ k ).(dx i + dy j + dz k ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z dφ = ∇φ .dl = ∇φ dl .u l dφ = ∇φ .u l dl
dφ =...