nada

TRIGONOMETRÍA

UNIDAD 3

Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I

Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.

Razón Trigonométrica
a
us
ten
po
Hi

B
c
a

Cateto
A

C



b

m

Cateto

o



1

.c

Teorema de Pitágoras

.M

a

te

m

a

ti

ca

“La suma de cuadrados de los catetos es igual alcuadrado de la
hipotenusa”
a2 + b2 = c2
w

Teorema

w

w

“Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”
ˆ ˆ 90º
A +B =

Definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo

Dado el triángulo ABC, recto en “C”, según la figura (1), se establecen las
siguientes definiciones:
Sen α =
Cos α =
Tan α =
Cot α =
Sec α =
Csc α =

a
c
b
CatetoAdyacente
=
Hipotenusa
c
a
Cateto Opuesto
=
Cateto Adyacente
b
b
Cateto Adyacente
=
Cateto Opuesto
a
c
Hipotenusa
=
Cateto Adyacente
b
c
Hipotenusa
=
Cateto Opuesto
a
Cateto Opuesto
Hipotenusa

=

U N F V – C E P R E V I

B
c
a
α
A

C
b
Fig. (1)

25

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo
ˆ
En un triángulo rectángulo ABC (C = 90°), se sabe que la suma decatetos es
igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos
agudos del triángulo.
Resolución
Nótese que en el enunciado del problema tenemos:
B
c

a

Senα + Senβ =

α

A

a+b=k·c
Nos piden calcular:

β

b

Luego: Senα + Senβ =

C

a b a+b
+ =
c
c c

k•c
=K
c

ca

1

.c

o

m

Ejemplo
Los tres lados de un triángulorectángulo se hallan en progresión arítmetica,
hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

Teorema de Pitágoras
(x - r)2 + x2
x2 + 2xr + r2 + x2
x2 - 2xr
x2

w
w

x+r

w

Cateto menor = x - r
Cateto mayor = x
Hipotenusa = x + r

.M

a

te

m

a

ti

Resolución
Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión
aritmetica, derazón “r” asumamos entonces:

= (x + r)2
= x2 +2xr + r2
= 2xr
= 4xr →

x

x-r
Fig. (A)

x = 4r

Importante
“A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”; luego, reemplazando en la
figura (A), tenemos:

Nos piden calcular: Tanα =

4r 4
=
3r 3

5r

4r

α
3r

26

U N F V – C E P R E V I

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo
Calcular el cateto menor de un triángulorectángulo de 330 m de perímetro, si
la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4.
Resolución
1º Sea “α” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición:
Tan α = 2,4 =

24 12
=
10 5

Ubicamos “α” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la
relación de 12 a 5.
La hipotenusa se calcula por pitágoras
Triángulo Rectángulo Particular
13

Triángulo RectánguloGeneral
13K

12

12K

α

m

α

5K

ca

1

.c

o

5

w

w

w

.M

a

te

m

a

ti

2º El perímetro del triángulo rectángulo es:
Según la figura:
5K + 12K + 13K = 30 K
Según dato del enunciado:
= 330 m
Luego:
30K = 330

K = 11
3º La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir:
Cateto
= 5K

= 5 ·11 m
= 55 m

Propiedades de las Razones Trigonométricas
Razones Trigonométricas Recíprocas

“Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo,
notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”.
La parejas de las R.T. recíprocas son entonces:
Seno y Cosecante:
Senα • Cscα = 1 
Coseno y Secante:
Cosα • Secα = 1  Nótese: “ángulosTangente y Cotangente:
Tanα • Cotα = 1  iguales”

U N F V – C E P R E V I

27

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo
Indicar la verdad de las siguientes proposiciones:
I. Sen20º • Csc10º = 1
II. Tan35º • Cot50º = 1
III. Cos40º • Sec40º = 1
Resolución
Nótese que en las parejas de razones trigonométricas recíprocas el producto
es “1”; siempre que sean ángulos iguales.
Luego: Sen20º •...