Ninguno

Binomio de Newton y triángulo de Tartaglia / Pascal
Binomio de Newton El desarrollo de la potencia n-sima del binomio (a+b) es:
n ⎛n⎞ ( a + b) n = ∑ ⎜ ⎟ a n − k b k⎜ ⎟ k =0 ⎝ k ⎠

www.vaxasoftware.com

⎛ n ⎞ 2 n − 2 ⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ (a + b) n = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n −1 b + ⎜ ⎟ a n − 2 b 2 + ... + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n − 2 ⎟ ab + ⎜ n − 1⎟a b + ⎜ n ⎟ b ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Donde los coeficientes son los números combinatorios:

⎛n⎞ n! ⎜ ⎟= ⎜ k ⎟ k ! (n − k ) ! ⎝ ⎠ n ! selee n factorial y corresponde a la multiplicación de todos los valores enteros desde n a 1: n ! =n·(n–1)·(n–2)·(n–3)· .... · 4 · 3 · 2 · 1. Ejemplo: 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3· 2 · 1 = 720
Ejemplos del binomio de Newton:

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a − b)2 = a2 − 2 a b + b2 (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3 a2 b +3a b2 − b3 (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4 (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4a b3 + b4 (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5a b4 + b5 (a − b)5 = a5 −5a4 b + 10a3 b2 − 10a2 b3 + 5a b4 − b5
Triángulo de Pascal / Tartaglia - Coeficientes binomiales - Números combinatorios

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 10 9 45 8 36 7 28 6 21 5 15 35 4 10 20 35 3 6 10 15 21 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1

56 70 56 28 8 1 84 126 126 84 36 9 1 120 210 252 210 120 45 10 1Obsérvese que cada valor se obtiene sumando los dos valores que se hallan encima en la fila anterior. Se observa también una simetría izquierda-derecha en la serie decoeficientes para cada valor de n. Ello es consecuencia de la siguiente propiedad de simetría de los números combinatorios:

⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎜n − k ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝