Nohemi Jose Francisco Omar Tauris

Problemas de recuperación de primera unidad

METODOS NÚMERICOS
DOCENTE:
Ing. Eduardo Franco Austria
ALUMNOS:

Número De Control:

Nohemí Antonio García

13ISC003

José Francisco Antonio Cruz

13ISC105

José López Arguelles
Taurino Hernández García

13ISC061

Omar Rodríguez Vicente

CARRERA:
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
SEMESTRE:
Cuarto

TURNO:
Matutino

1

viernes, 27 de marzo de 2015Problemas de recuperación de primera unidad

Equipo # 2
1. Halle la serie de maclaurin de la función dada, realice la serie hasta su séptimo término:

2. Utilice la serie de Maclaurin correspondiente para evaluar:
𝜋/4

∫

𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 𝑑𝑥

0

Agregue termino por termino hasta que 𝜀𝑠 = 0.005%
3. Utilice la serie de Maclaurin correspondiente para evaluar:
𝜋/4

∫

𝑥𝑐𝑜𝑥 𝑑𝑥

0

Agregue término por términohasta que 𝜺𝒔 sea menor a un criterio de 4 cifras significativas.

Problemas de recuperación de primera unidad

1. Halle la serie de maclaurin de la función dada, realice la serie hasta su
séptimo término:
𝟐𝟐. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑓(𝑐) = 𝑐𝑜𝑠3𝑐
Dónde: 𝑐 = 0
𝑓(𝑐) = 𝑐𝑜𝑠3𝑐

𝑓(0) = cos(3 ∗ 0) = 1

𝑓 ′ (𝑐) = −3𝑠𝑒𝑛 3𝑐

𝑓 ′ (0) = −3𝑠𝑒𝑛 (3 ∗ 0) = 0

𝑓 ′′ (𝑐) = −9 cos 3𝑐

𝑓 ′′ (0) = −9 cos(3 ∗ 0) = −9

𝑓 ′′′ (𝑐) =27𝑠𝑒𝑛 3𝑐

𝑓 ′′′ (0) = 27𝑠𝑒𝑛 (3 ∗ 0) = 0

𝑓 4 (𝑐) = 81𝑐𝑜𝑠3𝑐

𝑓 4 (0) = 81𝑐𝑜𝑠(3 ∗ 0) = 81

𝑓 5 (𝑐) = −243𝑠𝑒𝑛 3𝑐

𝑓 5 (0) = −243𝑠𝑒𝑛 (3 ∗ 0) = 0

𝑓 6 (𝑐) = −729𝑐𝑜𝑠3𝑐

𝑓 6 (0) = −729𝑐𝑜𝑠(3 ∗ 0) = −729

∞

∑=
𝑛

𝑃7 = 1 +

𝑓 𝑛 (𝑐)
𝑓 ′ (𝑐)
𝑓 𝑛 (𝑐)
(𝑥 − 𝑐) + ⋯
(𝑥 − 𝑐)𝑛 = 𝑓(𝑐) +
(𝑥 − 𝑐)𝑛 + ⋯
𝑛!
1!
𝑛!

0
9
0
81
0
729
(𝑥 − 0) − (𝑥 − 0)2 + (𝑥 − 0)3 +
(𝑥 − 0)4 + (𝑥 − 0)5 −
(𝑥 − 0)6
1!
2!
3!
4!
5!
6!
𝑃7 = 1 −

9𝑥2 81𝑥 4 729𝑥 6
+
−
2!
4!
6!

Problemas de recuperación de primera unidad

𝟐𝟎. ℎ(𝑥) = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓(𝑐) = 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑐
Dónde: 𝑐 = 0
𝑓(𝑐) = 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑐

𝑓(0) = 0 𝑐𝑜𝑠 0 = 0

𝑓 ′ (𝑐) = cos 𝑐 − 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑓 ′ (0) = cos 0 − 0 𝑠𝑒𝑛 0 = 1

𝑓 ′′ (𝑐) = −c cos 𝑐 − 2 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑓 ′′ (0) = −0 cos 0 − 2 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

𝑓 ′′′ (𝑐) = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐 − 3 cos 𝑐

𝑓 ′′′ (0) = 0 𝑠𝑒𝑛 0 − 3 cos 0 = −3

𝑓 4 (𝑐) = c cos 𝑐 + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑓 4 (0) = 0 cos 0 + 4𝑠𝑒𝑛 0 = 0

𝑓 5 (𝑐) = 5 cos 𝑐 − 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑓 5 (0) = 5 cos 0 − 0 𝑠𝑒𝑛 0 = 5

𝑓 6 (𝑐) = −c cos 𝑐 − 6 𝑠𝑒𝑛 𝑐

𝑓 6 (0) = −0 cos 0 − 6 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

∞

∑=
𝑛

𝑃7 = 0 +

𝑓 𝑛 (𝑐)
𝑓 ′ (𝑐)
𝑓 𝑛 (𝑐)
(𝑥 − 𝑐) + ⋯
(𝑥 − 𝑐)𝑛 = 𝑓(𝑐) +
(𝑥 − 𝑐)𝑛 + ⋯
𝑛!
1!
𝑛!

1
0
3
0
5
0
(𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)2 − (𝑥 − 0)3 + (𝑥 − 0)4 + (𝑥 − 0)5 + (𝑥 − 0)6
1!
2!
3!
4!
5!
6!
𝑃7 =

𝑥 3𝑥 3 5𝑥 5
−
+
1!
3!
5!

Problemas de recuperación de primera unidad

2.Utilice la serie de Maclaurin correspondiente para evaluar:
𝜋/4

∫

𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 𝑑𝑥

0

Agregue termino por termino hasta que 𝜀𝑠 = 0.005%
𝜀𝑠 = 0.005%
𝜀𝑎 = |

𝐴𝑛𝑢𝑒 − 𝐴𝑎𝑛𝑡
| ∗ 100%
𝐴𝑛𝑢𝑒

Serie de maclaurin para 𝐶𝑜𝑠 3𝑥:
𝐶𝑜𝑠 3𝑥 = 1 −

9𝑥 2 81𝑥 4 729𝑥 6
+
−
2!
4!
6!

1* Iteración
𝜋
𝜋
1 𝑑𝑥 = 𝑥 | ⁄4 = = 0.7853981634
4
0

𝜋/4

∫
0

2* Iteración
𝜋 3
𝜋/4
𝜋/4
9𝑥 2
9𝑥 2
9𝑥 3 𝜋⁄
𝜋 9( 4)
(1 −
)𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥 = 𝑥 −
|4= −
= .0586885537
2!
2!
6
4
6
0
0
0

𝜋/4

∫
0

𝜀𝑎 = |

. 0586885537 − 0.7853981634
| ∗ 100% = 1238%
. 0586885537

3* Iteración
𝜋/4

∫
0

(1 −

𝜋/4
𝜋/4
𝜋/4
9𝑥 2 81𝑥 4
9𝑥 2
81𝑥 4
9𝑥 3 81𝑥 5 𝜋⁄
+
)𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 = 𝑥 −
+
| 4
2!
4!
2!
4!
6
120
0
0
0
0
𝜋 3
𝜋 5
81( )
𝜋 9( )
4 = .2604105139
= − 4 +
4
6
120

𝜀𝑎 = |

. 2604105139 − .0586885537
| ∗ 100% = 77%
. 2604105139

Problemas derecuperación de primera unidad
4* Iteración
𝜋
4

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

4
4 9𝑥 2
4 81𝑥 4
4 729𝑥 6
9𝑥 2 81𝑥 4 729𝑥 6
∫ (1 −
+
−
)𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥
2!
4!
6!
4!
6!
0
0
0 2!
0
0

𝜋 3
𝜋
𝜋
81( )5 729( )7
9𝑥 3 81𝑥 5 729𝑥 7 𝜋⁄
𝜋 9( 4)
4
4 = .2337464611
4
=𝑥−
+
−
|
= −
+
−
6
120
5040 0
4
6
120
5040
𝜀𝑎 = |

. 2337464611 − .2604105139
| ∗ 100% = 11%
. 2337464611

5* Iteración
𝜋
4

9𝑥 2 81𝑥 4 729𝑥 6 6561𝑥 8
∫ (1−
+
−
+
)𝑑𝑥
2!
4!
6!
8!
0
𝜋
4

= ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫
0

𝜋
4 9𝑥 2

0

2!

𝜋
4 81𝑥 4

𝑑𝑥 + ∫

4!

0

𝜋
4 729𝑥 6

𝑑𝑥 − ∫

0

6!

𝜋
4 6561𝑥 8

𝑑𝑥 + ∫

0

8!

𝑑𝑥

𝜋 3
𝜋
𝜋
𝜋
81( )5 729( )7 6561( )9
9𝑥 3 81𝑥 5 729𝑥 7 6561𝑥 9 𝜋⁄
𝜋 9( 4)
4
4
4
4
=𝑥−
+
−
+
|
= −
+
−
+
6
120
5040 362880 0
4
6
120
5040
362880
= .2358024271
𝜀𝑎 = |

. 2358024271 − .2337464611
| ∗ 100% = .87%
. 2358024271

6 *Iteración
𝜋
4

∫...